Bài 106607

a) ĐKXĐ : $x \ge \frac{-1}{2}$.
Ta có: $2x + \sqrt{2x+1} = 11$
Ta chuyển hạng tử chứa căn về một vế:    $\sqrt{2x+1} = 11 - 2x$.
Bình phương cả hai vế:
        $2x+1 = (11 - 2x)^2      \Rightarrow    2x+1 = 121 -44x + 4x^2$
$\Rightarrow  4x^2 - 46x + 120 = 0     \Rightarrow  2x^2 - 23x + 60 = 0$
      $\Delta  = 23^2 - 4.2.60 =49    \Rightarrow   x_1 =4;   x_2 = \frac{15}{2}$
Thử lại:  -  Với $x=4$  vế trái cho ta: $2.4 + \sqrt{2.4 + 1} = 8 + 3 = 11$
                  Vậy $x=4$ là nghiệm của phương trình đã cho.
               - Với $x=\frac{15}{2}$ vế trái cho ta; $2.\frac{15}{2} + \sqrt{2.\frac{15}{2} +1 }  = 19  \neq  11$
                  Vậy $x=\frac{15}{2}$ là nghiệm ngoại lai.
Kết quả : S = {$4$}

b)ĐKXĐ : $x \ge \frac{-1}{3 }$.
Bình phương  cả hai vế phương trình có:
      $\sqrt{3x+1} = 1 + \sqrt{x+4}    \Rightarrow   3x+1 = 1+x +4 + 2 \sqrt{x+4}$
$\Rightarrow  2x-4 = 2 \sqrt{x+4}          \Rightarrow    x - 2 = \sqrt{x+4}$
Lại tiếp tục bình phương hai vế ta được:
$(x-2)^2 = x +4       \Rightarrow   x^2 - 4x + 4 = x+4$
$x^2 - 5x = 0     \Rightarrow     x=0 ;   x = 5$.
Thử lại : - Với $x=5$ vế trái cho ta; $\sqrt{3.5 + 1} = 4$
                 vế phải cho ta: $1+ \sqrt{5+4} = 1+ 3 = 4$.
                 Vậy $x=5$ là nghiệm của phương trình đã cho.
               - Với $x=0$, vế trái ; $\sqrt{3.0 + 1} = 1$,  vế phải:  $1+ \sqrt{0+4} = 3$.
                  Vậy $x=0$ là nghiệm ngoại lai.
Kết quả:  S = {$5$}.
c) ĐKXĐ : $x \ge 4$.
Chuyển các căn thức về một vế : $\sqrt{2x-1} - \sqrt{x-4} = 2$
Bình phương cả hai vế: $(2x-1)+(x-4)-2 \sqrt{(2x-1)(x-4)} = 4$.
Lại chuyển căn thức về một vế:  $3x - 9 = 2 \sqrt{(2x-1)(x-4)}$.
Bình phương cả hai vế:   $9x^2 - 54x + 81 = 4(2x^2 - 9x +4)$
$\Rightarrow   x^2 - 18x + 65 = 0      \Rightarrow  x_1 = 5 ; x_2 = 13$.
Thử lại;
* Với $x=5    \Rightarrow     \sqrt{2.5-1} - \sqrt{5-4}-2  = 3 - 1 -2 = 0$
Vậy $x=5$ là nghiệm của phương trình.
* Với $x=13  \Rightarrow     \sqrt{2.13-1} - \sqrt{13-4}-2  = 5 - 3 -2 = 0$.
Vậy $x=13$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Kết quả;   S = {$5 ; 13$}