Bài 107446

Question

Tìm công thức tổng quát $u_n$ của mỗi dãy được thành lập theo quy tắc sau:
$a) \begin{cases}u_1=1 \\ u_{k+1}=u_k+k(k-1) \end{cases} b)\begin{cases}u_1=2; u_2=5 \\ u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n \end{cases} $

dungnt · Answer 1 · 6/8/2012 4:30:14 PM

a) $u_2=u_1+1(1-1)=u_1=1$
   $u_3=u_2+2(2-1)=u_2+2=3$
   .........................................
     $u_n=u_{n-1}+(n-1)^2-(n-1)$
Cộng vế với vế $n-1$ dòng ta được:
     $u_n=u_1+(1^2+2^2+...+(n-1)^2)-(1+2+...+(n-1))$
           $   =u_1+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}$
Theo bài $57a \Rightarrow u_n=1+\frac{1}{3}(n^3-3n^2+2n) $

b)    $u_1=2=1+1; u_2=5=2+3; u_3=13=4+9...$
Dự đoán $u_n=2^{n-1}+3^{n-1}$.
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp $u_n=2^{n-1}+3^{n-1}     (1)$
$(1)$ đúng khi $n=1$, giả sử $(1)$ đúng với $n=k: u_k=2^{k-1}+3^{k-1}$
Theo giả thiết đề bài
   $u_{k+1}=5u_k-6u_{k-1}=5.2^{k-1}+5.3^{k-1}-6.2^{k-1}-6.3^{k-2}$
             $=2.2^{k-1}+3.3^{k-1}=2^k+3^k$
Vậy $(1)$ đúng với $n=k+1$.
Do đó: $u_n=2^{n-1}+3^{n-1}    \forall n$

Bài 107446

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107446

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan