Bài 108909

Question

Chứng minh :

$(n!)^{2}\geq n^{n} ;\forall n\in N^{*}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/11/2012 12:01:02 PM

Gọi

$P(n)$ là mệnh đề cần chứng minh
- Khi

$n=1$ . Ta có

$1\geq 1$ đúng.Vậy

$P(1)$ đúng.
- Giả sử

$P(k)$ đúng, tức là:

$(k!)^{2}\geq k^{k}$ (*)
- Ta chứng minh

$P(k+1)$ đúng, tức là chứng minh:

$[(k+1)!]^{2}\geq (k+1)^{k+1} \Leftrightarrow (k!)^{2}(k+1)^{2}\geq (k+1)^{k+1}$

$\Leftrightarrow (k!)^{2}\geq (k+1)^{k-1}$ (**)
Nhờ (*), thay vì chứng minh (**), ta chỉ cần chứng minh

$k^{k}\geq 1^{k-1}$ là xong.

Gọi

$Q(n)$ là mệnh đề cần chứng minh
- Khi

$n=1$ , ta có

$1^{1}\geq(1+1)^{1-1}$ đúng (vì

$1\geq2^{0}=1$ ). Vậy

$Q(1)$ đúng.
- Giả sử

$Q(k)$ đúng, tức là :

$k^{k}\geq(k+1)^{k-1}$ (*)
- Ta chứng minh

$Q(k+1)$ đúng, tức là chứng minh:

$(k+1)^{k+1}\geq(k+2)^{k}$ đúng

$\Leftrightarrow (k+1)(k+1)^{k}\geq(k+2)^{k}$

$\Leftrightarrow (\frac{k+1}{k+2})^{k}\geq\frac{1}{k+1}$ (**)
Mà từ (*)

$\Rightarrow k^{k}\geq\frac{(k+1)^{k}}{k+1}\Rightarrow \frac{1}{k+1}\leq(\frac{k}{k+1})^{k}$
Do đó, thay vì chứng minh (**), Ta chứng minh :

$(\frac{k}{k+1})^{k}\leq(\frac{k+1}{k+2})^{k}$
Tức là chứng minh:

$\frac{k}{k+1}\leq\frac{k+1}{k+2}\Leftrightarrow k^{2}+2k\leq k^{2}+2k+1$

$\Leftrightarrow 1\geq 0$ đúng.
Do đó

$Q(k+1)$ đúng.
Theo nguyên lí quy nạp, ta kết luận

$Q(n)$ đúng

$\forall n\in N^*$ .

Vậy

$P(k+1)$ đúng.
Theo nguyên lí quy nạp, ta kết luận

$P(n)$ đúng

$\forall n\in N^*$ .

1 Đáp án