Áp dụng hệ thức Descartes,ta có A,B,C,D lập thành hàng điểm điều hòa
⇔2¯CD=1¯CA+1¯CB=¯CB+¯CA¯CA.¯CB
⇔¯CA.¯CB=¯CD.¯CB+¯CA2
⇔¯CA.¯CB=¯CD.¯CI(đpcm)
*Áp dụng:
Giả sử D(x;y)
Vì A,B,C,D thẳng hàng nên D thuộc đường thẳng qua AB, có →AB(−2;−4).
Phương trình đường thẳng qua A,B là :
x−2−2=y−3−4⇔(d):y=2x−1
Do đóD(x;2x−1)
Xét I là trung điểm AB, I(1;1).
¯CA=√32+62=√45
¯CB=√12+22=√5
¯CD=√(x+1)2+(2x+2)2=√5x2+10x+5
¯CI=√22+42=√20
Áp dụng hệ thức ở phần trên ta suy ra: 100x2+200x+100=225⇔x=12hoặcx=−52
x=12⇒D1(12;0)
x=−52⇒D2(−52;−6)
Do \overrightarrow{CA}(3;6) và \overrightarrow{CB}(-2;-1) cùng chiều nên \overrightarrow{DA} và
\overrightarrow{DB} ngược chiều. Thử lại với 2 điểm D1, D2 thấy chỉ có D1 thỏa mãn.
Vậy có tọa độ điểm D cần tìm D(\frac{1}{2};0)