Bài 109620

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a.\widehat{ABC} =60^0,SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $SB$
$a.$ Khi $M$ là trung điểm của cạnh $SB$, tính diện tích của thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ với mặt phẳng $(ADM)$
$b.$ Khi $M$ di động trên cạnh $SB$.Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ADM)$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 6/26/2012 4:40:11 PM

$a.$ Ta có :
$\begin{cases}AD\in (ADM) và BC\in (SBC)\\AD//BC\\(ADM)\cap (SBC)=Mx \end{cases}
\Rightarrow Mx//AD//BC$
và $Mx$ cắt $SC$ tại $N$
Khi đó ta nhận được thiết diện $AMND$ là hình thang .
Trong hình thang $AMND$ hạ $AK\bot MN$ ta được :
$S_{AMND}=\frac{1}{2} (AD+MN).AK (1)$

trong đó :
- Trong $\Delta SBC$ có $MN$ là đường trung bình nên :
$MN=\frac{1}{2} BC=\frac{a}{2} $
- Trong $\Delta SAB$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến thuộc cạnh huyển nên :
$AM=\frac{1}{2} SB=\frac{1}{2} \sqrt{SA^2+AB^2}=\frac{a\sqrt{2} }{2} (3)$
- Trong $\Delta SAC$ vuông tại $A$ có $AN$ là trung tuyến thuộc cạnh huyền nên :
$AN=\frac{1}{2} SC=\frac{1}{2} \sqrt{SA^2+AC^2}=\frac{a\sqrt{2} }{2} (4)$
- Trong $\Delta AMN$ cân tại $A$ ta có:
$AK=\sqrt{AM^2-MK^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{16} } =\frac{a\sqrt{7} }{4} (5)$
Thay $(2),(5)$ vào $(1)$ ta được :
$S_{AMND}=\frac{1}{2} (a+\frac{a}{2} ).\frac{a\sqrt{7} }{4} =\frac{3a^2\sqrt{7} }{16} $

$b.$ Nhận thấy mặt phẳng $ADM$ chứa đường thẳng $AD$ cố định.Ta đi dựng mặt phẳng qua
$S$ và vuông góc với $AD$ bằng nhận xét :
$AK\bot MN\Leftrightarrow AK\bot AD$
Khi đó :
$(SAK)\bot AD$ và $(SAK)\cap (ADM)=AK$
Trong $(SAK)$ hạ $SH\bot AK$ thì $H$ cũng là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $(ADM)$
Trong $(SAK)$ ta có :
$SH\bot AH\Leftrightarrow \widehat{SHA}=90^0 $
nên $H$ thuộc đường trong đường kính $SA$ trong mặt phẳng $(SAK)$
Hạn chế quĩ tích - Ban đọc tự làm

Bài 109620

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109620

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan