Bài 109775

Question

Giải và biện luận theo

$m$ số nghiệm của phương trình

$(x^2-x+1)^2=x^3+5x^2+(5m+1)x+m^2$

score 0 · Answer 1

Viết lại

$(1) \Leftrightarrow m^2+5mx+3x^3+2x^2+3x-x^4-1=0 (2)$
Xem

$(2)$ là phương trình bậc

$2$ đối với

$m$
Ta có:

$\Delta_m=4x^4-12x^3+17x^2-12x+4=(2x^2-3x+2)^2$
Các nghiệm của

$(2)$ là

$m_1=x^2-4x+1; m_2=-x^2-x-1$
Do vậy

$(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m=x^2-4x+1}\\ {m=-x^2-x-1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x^2-4x+1-m=0 (3)}\\ {x^2+x+1+m=0 (4)} \end{array}} \right.$

$\Delta'_1=4-1+m=m+3; \Delta_2=1-4-4m=-4m-3$
các nghiệm nếu có của phương trình

$(3)$ là :

$x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Các nghiệm nếu có của phương trình

$(4)$ là :

$x_{1.2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Để ý (*):

$(x^2-4x+1-m)+(x^2+x+1+m)=2x^2-3x+2=2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{8}>0, \forall x$ suy ra các phương trình

$(3)$ và

$(4)$ không có nghiệm chung
* Nếu

$m<-3$ :
*

$\Delta'_1<0:$ Phương trình

$(3)$ vô nghiệm
*

$\Delta_2:$ Phương trình

$(4)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình

$(1)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu

$m=-3$ :
*

$\Delta'_1<0:$ Phương trình

$(3)$ có nghiệm kép

$x_1=x_2=2$
*

$\Delta_2:$ Phương trình

$(4)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_3=1, x_4=-2$
Suy ra phương trình

$(1)$ có nghiệm

$x=1, x=\pm 2$
* Nếu

$-3<m<-\frac{3}{4}$
*

$\Delta'_1<0:$ Phương trình

$(3)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
*

$\Delta_2:$ Phương trình

$(4)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình

$(1)$ có

$4$ nghiệm phân biệt

$x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu

$m=-\frac{3}{4}$
*

$\Delta'_1<0:$ Phương trình

$(3)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_1= \frac{1}{2}; x_2=\frac{7}{2}$
*

$\Delta_2:$ Phương trình

$(4)$ có một nghiệm kép

$x_2=x_4=-\frac{1}{2}$
Suy ra phương trình

$(1)$ có

$3$ nghiệm phân biệt

$x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu

$m>-\frac{3}{4}$
*

$\Delta'_1<0:$ Phương trình

$(3)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_{1,2}= 2 \pm \sqrt{m+3}$
*

$\Delta_2:$ Phương trình

$(4)$ vô nghiệm
Suy ra phương trình

$(1)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Tóm lại:
* Nếu

$m<-3$ : Phương trình

$(1)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu

$m=-3$ : Phương trình

$(1)$ có nghiệm

$x=1, x=\pm 2$
* Nếu

$-3<m<-\frac{3}{4}$ : Phương trình

$(1)$ có bốn nghiệm phân biệt

$x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm\sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu

$m=-\frac{3}{4}$ : Phương trình

$(1)$ có ba nghiệm phân biệt

$x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu

$m>-\frac{3}{4}$ : Phương trình

$(1)$ có hai nghiệm phân biệt

$x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$

Bài 109775

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109775

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan