a) Theo tính chất của cấp số cộng:
$\tan \frac{ A}{2}+ \tan \frac{ C}{2}= 2 \tan \frac{ B}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{ \sin \frac{ A+C}{2}}{ \cos \frac{ A}{2} \cos \frac{ C}{2}}= \frac{ 2 \sin \frac{ B}{2}}{ \cos \frac{ B}{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{ \cos \frac{ B}{2}}{ \cos \frac{ A}{2} \cos \frac{ C}{2}}= \frac{ 2 \sin \frac{ B}{2}}{ \cos \frac{ B}{2}}$
$\Leftrightarrow \cos^{2} \frac{ B}{2}= \sin \frac{ B}{2} \left(\cos \frac{ A+C}{2}+\cos \frac{ A-C}{2} \right) $
Do $\sin \frac{ B}{2} =\cos \frac{ A+C}{2}$ nên
$\Leftrightarrow 1+ \cos B=2 \sin^{2} \frac{ B}{2}+ 2 \cos \frac{ A+C}{2}.\cos \frac{ A-C}{2}$
$\Leftrightarrow 1+ \cos B= 1- \cos B+ \cos A+ \cos C$
$\Leftrightarrow 2 \cos B= \cos A+ \cos C$.
$\Rightarrow \cos A;\cos B;\cos C$ lập thành cấp số cộng.
Vậy ta có đpcm.
b)
Theo tính chất của cấp số cộng:
$\cot \frac{ A}{2}+ \cot \frac{ C}{2}= 2 \cot \frac{ B}{2}$
$\Leftrightarrow
\frac{ \sin \frac{ A+C}{2}}{ \sin \frac{ A}{2} \sin \frac{ C}{2}}=
\frac{ 2 \cos \frac{ B}{2}}{ \sin \frac{ B}{2}}$
$\Leftrightarrow \frac{
\cos \frac{ B}{2}}{ \sin \frac{ A}{2} \sin \frac{ C}{2}}= \frac{ 2 \cos
\frac{ B}{2}}{ \sin \frac{ B}{2}}$
$\Leftrightarrow \cos\frac{ B}{2}\sin\frac{ B}{2}= \cos \frac{ B}{2} \left(-\cos \frac{ A+C}{2}+\cos \frac{ A-C}{2} \right) $
Do $\sin \frac{ B}{2} =\cos \frac{ A+C}{2};\cos \frac{ B}{2} =\sin \frac{ A+C}{2}$ nên
$\Leftrightarrow 2\cos\frac{ B}{2}\sin\frac{ B}{2}=-2 \cos \frac{ B}{2}\sin \frac{ B}{2}+ 2 \sin \frac{ A+C}{2}.\cos \frac{ A-C}{2}$
$\Leftrightarrow \sin B= -\sin B+ \sin A+ \sin C$
$\Leftrightarrow 2 \sin B= \sin A+ \sin C$.
$\Leftrightarrow 2.2R\sin B=2R\sin A+2R\sin C$
$\Leftrightarrow 2b=a+c.$
$\Rightarrow a;b;c$ lập thành cấp số cộng.
Vậy ta có đpcm.