Bài 111483

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ , có tất cả các cạnh bằng

$m$ . Các điểm

$M,N$ theo thứ tự là trung điểm của

$AB,CD$
a) Tính độ dài

$MN$ .
b) Tính góc giữa đường thẳng

$MN$ với các đường thẳng

$AB,CD$ và

$BC$ .

score 0 · Answer 1

Đặt

$\overrightarrow {a}=\overrightarrow {AD},\overrightarrow {b}=\overrightarrow {AB},\overrightarrow {c}=\overrightarrow {AC}$
Sử dụng công thức tích vô hướng lần lượt có:

$\overrightarrow {a}.\overrightarrow {b}=\overrightarrow {b}.\overrightarrow {c}=\overrightarrow {c}.\overrightarrow {a}=\frac{1}{2}m^{2}$

$\overrightarrow {a}^{2}=\overrightarrow {b}^{2}=\overrightarrow {c}^{2}=m^{2}$
a.Vì

$M,N$ là trung điểm của

$AB,CD$ nên:

$\overrightarrow {MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b})$

$\Rightarrow MN^{2}=\overrightarrow {MN}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b})^{2}=\frac{m^{2}}{2}\Leftrightarrow MN=\frac{m\sqrt{2}}{2}$
Vậy,ta được:

$MN=\frac{m\sqrt{2}}{2}$
b.Ta lần lượt:
*Góc giữa

$MN$ và

$AB$ ,được xác định:

$\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b}).\overrightarrow {b}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {a}.\overrightarrow {b}+\overrightarrow {b}.\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b}^{2})=0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MN}\bot \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow MN \bot AB$
Vậy,giữa

$MN,AB$ bằng

$90^{0}$ .
*Góc giữa

$MN$ và

$CD$ ,được xác định:

$\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {MN}(\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b})(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {c})=0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MN}\bot \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow MN \bot CD$
Vậy,giữa

$MN,CD$ bằng

$90^{0}$ .
*Góc giữa

$MN$ và

$BC$ ,được xác định:

$\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {MN}(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b})(\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b})=\frac{1}{2}m^{2}$

$\Rightarrow \cos (\overrightarrow {MN},\overrightarrow {BC})=\frac{\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {BC}}{|\overrightarrow {MN}|.|\overrightarrow {BC}|}=\frac{\frac{1}{2}m^{2}}{m.\frac{m\sqrt{2}}{2}}$