Bài 111597

Question

Cho họ đường thẳng

$(d_{m})$ có phương trình:

$(d_{m}): \frac{x-1}{2m}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{m-3}$ .
a.Tìm điểm cố định

$M$ của họ đường thẳng

$(d_{m})$ .
b.Chứng minh rằng họ đường thẳng

$(d_{m})$ luôn nằm trong một mặt phẳng cố định

$(P)$ .
c.Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng

$(P)$ và mặt phẳng tọa độ.

score 0 · Answer 1

a.Dễ thấy, họ

$(d_{m})$ luôn đi qua điểm cố định

$M(1;2;3)$ .
b.Họ đường thẳng

$(d_{m})$ có vtcp

$\overrightarrow {u}(2m;2;m-3)$ .
Với vectơ

$\overrightarrow {n}(1;-3;-2)$ . Ta có nhận xét:

$\overrightarrow {n}.\overrightarrow {u}=1.2m-3.2-2(m-3)=0 \Leftrightarrow \overrightarrow {n} \bot \overrightarrow {u}$ .
Vậy, họ đường thẳng

$(d_{m})$ luôn nằm trong một mặt phẳng cố định

$(P)$ ,được cho bởi:

$(P):\begin{cases} Qua M(1;2;3) \\ Vtpt \overrightarrow {n}(1;-3;-2) \end{cases} \Leftrightarrow (P):(x-1)-3(y-2)-2(z-3)=0$

$\Leftrightarrow (P): x-3y-2z+11=0.$
c.Ta có:

$(P) \cap Ox=\left\{ {A(-11;0;0)} \right\},$

$(P) \cap Oy=\left\{ {M(0;\frac{11}{3} ;0)} \right\},$

$(P) \cap Oz=\left\{ {C(0;0;\frac{11}{2})} \right\},$
Thể tích khối tứ diện

$OABC$ được cho bởi:

$V=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.11.\frac{11}{3}.\frac{11}{2}=\frac{1331}{36}$ (đvtt)

1 Đáp án