|
|
Giải
Ta có:
a) Ta lần lượt:
* Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) là điểm E(3;−1;0). Từ đó, vì E là trung điểm của AA1 nên A1(3;−1;−1).
* Hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox là điểm F(3;0;0). Từ đó, vì F là trung điểm của AA2 nên A2(3;1;−1).
b) Ta có: →DA(1;0;0)=→i,→DB(0;1;0)=→j,→DC(0;0;1)=→k
và vì →i,→j,→k không đồng phẳng nên ba vectơ →DA,→DB,→DC không đồng phẳng.
Vậy, bốn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
c) Thể tích V của tứ diện ABCD được cho bởi:
V=16|[→DA,→DB].→DC|=16 (đvtt)
d) Ta lần lượt có:
{DA=√12+0+0=1DB=√0+12+0=1DC=√0+0+12=1⇒DA=DB=DC=1
Tương tự ta cũng có AB=BC=CA=√2.
Vậy, hình chóp D.ABC là hình chóp đều.
e) Dựa theo kết quả câu d) ta suy ra chân đường cao H của hình chóp D.ABC chính là trọng tâm của ΔABC, do đó:
→OH=13(→OA+→OB+→OC)
⇔H(xA+xB+xC3;yA+yB+yC3;zA+zB+zC3)=(73;−23;43)
f) Với cặp cạnh AD và BC,ta có:
→DA(1;0;0),→BC(0;−1;1)⇒→DA.→BC=0⇔AD⊥BC.
Chứng minh tương tự ta cũng có AB⊥CD,AC⊥BD
Vậy,tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc với nhau.
g) Giả sử I(x;y;z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta có:
{AI=BIAI=CIAI=DI⇔{(x−3)2+(y+1)2+(z−1)2=(x−2)2+y2+(z−1)2(x−3)2+(y+1)2+(z−1)2=(x−2)2+(y+1)2+(z−2)2(x−3)2+(y+1)2+(z−1)2=(x−2)2+(y+1)2+(z−1)2
⇔{x−y=3x−z=12x=5⇔{x=52y=−12z=32⇒I(52;−12;32).
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là I(52;−12;32) và bán kính R=IA=√32
|