a) Lấy hai điểm A,B phân biệt thuộc a và gọi A′,B′ là ảnh của chúng qua F.
Lấy hai điểm C,D phân biệt thuộc b và gọi C′,D′ là ảnh của chúng qua F.
* Nếu a,b cắt nhau: Gọi I là giao điểm của AB và CD và I′ là ảnh của nó qua F.
Từ tính chất của phép dời hình, suy ra:
- A′,B′ và I′ thẳng hàng.
- C′,D′ và I′ thẳng hàng.
Tức là, hai đường thẳng a′,b′ cắt nhau tại I′, đpcm.
* Nếu a,b song song: Giả sử AB=CD thì ABCD là hình bình hành, suy ra AD=BC.
Từ tính chất của phép dời hình, suy ra:
A′B′=C′D′ và A′D′=B′C′⇒A′B′C′D′ là hình bình hành.
⇒A′B′//C′D′⇔a′//b′,đpcm.
* Nếu a,b chéo nhau: Thì A,B,C,D không đồng phẳng, suy ra bốn điểm A′,B′,C′,D′ không đồng phẳng, tức là a′,b′ chéo nhau.
b) Từ điểm O dựng các tia Ox,Oy theo thứ tự song song với a,b.
Gọi O′x′y′ là ảnh của Oxy qua F, suy ra:
{^xOy=^x′O′y′O′x′//a′vàO′y′//b′⇒g(a,b)=^xOy=^x′O′y′=g(a′,b′)
c) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của a và b, M′N′ là ảnh của MN qua F, suy ra:
{MN=M′N′M′N′⊥a′vàM′N′⊥b′⇒d(a,b)=MN=M′N′=d(a′,b′)