a) Ta có: $\begin{cases} AB \bot CI \\ AB \bot DI\end{cases} \Rightarrow AB \bot (ICD) \Rightarrow AB \bot IJ$ (1)
$\begin{cases} CD \bot AJ \\ CD \bot BJ\end{cases} \Rightarrow CD \bot (JAB) \Rightarrow CD \bot IJ$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $IJ$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$.
Trong $\Delta AIJ$, ta có:
$IJ^{2}=AJ^{2}-AI^{2}=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}-(\frac{a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{2} \Rightarrow IJ=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
b) Nhận xét rằng với phép đối xứng qua trục $IJ$ thì:
$\begin{cases} D_{IJ} (A)= B \\ D_{IJ} (C)= D\end{cases} \Rightarrow D_{IJ} (ABCD)= BADC$
$\Rightarrow IJ$ là trục đối xứng của $ABCD$.
Từ đó suy ra tứ diện có ba trục đối xứng là các đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện.
c) Nhận xét rằng $(ICD)$ là mặt phẳng trung trực của cạnh $AB$ với phép đối xứng qua mặt phẳng $(ICD)$ thì:
$\begin{cases} D_{(ICD)} (A)= B \\ D_{(ICD)} (B)= A\end{cases} \Rightarrow D_{(ICD)} (ABCD)= BACD$
$\Rightarrow (ICD)$ là mặt phẳng đối xứng của $ABCD$.
Từ đó suy ra tứ diện có sáu mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện.