Bài 112061

Question

Cho phép vị tự

$V$ tâm

$O$ tỉ số

$k \neq 1$ và một phép tịnh tiến

$T$ theo vectơ

$\overrightarrow {v}$ .
Đặt

$F=T o V$ và

$F'=V o T$ . Chứng minh rằng:
a) Có một điểm

$I$ duy nhất sao cho

$F(I)=I$ và điểm

$I'$ duy nhất sao cho

$F'(I')=I'$ .
b)

$F$ là một phép vị tự tâm

$I$ tỉ số

$k$ ,

$F'$ là một phép vị tự tâm

$I'$ tỉ số

$k$

score 0 · Answer 1

a) Giả sử

$F(I)=I$ . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu

$V$ biến

$I$ thành

$I_1$ thì

$T$ biến

$I_1$ thành

$I$ , tức là:
nều

$\overrightarrow {OI_1}=k.\overrightarrow {OI}$ thì

$\overrightarrow {I_1I}=\overrightarrow {v}$
Từ đó, suy ra:

$\overrightarrow {OI}-\overrightarrow {OI_1}=\overrightarrow {v}$ hay

$\overrightarrow {OI}-k\overrightarrow {OI}=\overrightarrow {v}$
Do đó:

$\overrightarrow {OI}=\frac{\overrightarrow {v}}{1-k}$
Vậy, điểm

$I$ xác định duy nhất.
Giả sử

$F(I')=I'$ . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi nếu

$T$ biến

$I'$ thành

$I_1$ thì

$V$ biến

$I'_1$ thành

$I'$ , tức là:
nều

$\overrightarrow {I'I'_1}=\overrightarrow {v}$ thì

$\overrightarrow {OI'}=k\overrightarrow {OI'_1}$
Từ đó, suy ra:

$\overrightarrow {OI'}=k(\overrightarrow {OI'}+\overrightarrow {I'I'_1})$ hay

$(k-1)\overrightarrow {OI'}=k\overrightarrow {I'I'_1}$
Do đó:

$\overrightarrow {OI'}=\frac{k\overrightarrow {v}}{1-k}$
Vậy, điểm

$I'$ xác định duy nhất.

b) Với mỗi điểm

$M$ bất kì ta lấy điểm

$M_1$ sao cho

$\overrightarrow {OM_1}=k.\overrightarrow {OM}$ , rồi lấy điểm

$M'$ sao cho

$\overrightarrow {M_1M'}=\overrightarrow {v}$ . Khi đó phép hợp thành

$F= T o V$ biến

$M$ thành

$M'$ .
Ta đối xứng điểm

$I$ sao cho

$\overrightarrow {OI}=\frac{\overrightarrow {v}}{1-k}$ thì

$I$ là điểm cố định ( không phụ thuộc vào

$M$ ) và:

$\overrightarrow {IM'}=\overrightarrow {IO}+\overrightarrow {OM_1}+\overrightarrow {M_1M'}=\overrightarrow {IO}+k\overrightarrow {OM}+\overrightarrow {v}$

$=\overrightarrow {IO}+k(\overrightarrow {IM}-\overrightarrow {IO})+\overrightarrow {v}$

$=(1-k)\overrightarrow {IO}+\overrightarrow {v}+k.\overrightarrow {IM}=k.\overrightarrow {IM}$
Từ đó suy ra

$T o V$ là phép vị tự tâm

$I$ tỉ số

$k$ .
Chứng minh tương tự có

$F=V o T$ là phép vị tự tâm

$I'$ tỉ số

$k$ .

Bài 112061

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112061

1 Đáp án

Liên quan

PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN. CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Lý thuyết liên quan