|
|
Ta có:
Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
(d):\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=3-t \end{array} \right. ,t\in R
Khi đó mọi điểm M\in (d) luôn có M(t,3-t).
Đường thẳng (\Delta) đi qua M có phương trình:
(\Delta):A(x-t)+B(y-3+t)=0
\Leftrightarrow (\Delta):Ax+By-At+B(t-3)=0, với A^2+B^2>0
Đường thẳng (\Delta) là tiếp tuyến của (E)
3A^2+2B^2=[-At+B(t-3)]^2
\Leftrightarrow (t^2-3).A^2-2t(t-3).AB+(t^2-6t+7).B^2=0 (1)
Nhận xét rằng với A=0\Rightarrow B=0 (loại), do đó chia cả hai vế của phương trình (1) cho A^2\neq 0, ta được:
t^2-3-2t(t-3).\frac{B}{A}+(t^2-6t+7).(\frac{B}{A})^2=0 (2)
Đặt k=\frac{B}{A}, thì (2) được biến đổi về dạng:
(t^2-6t+7).k^2-2t(t-3).k+t^2-3=0 (3)
Qua M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (E)
\Leftrightarrow (1) có hai cặp nghiệm (A_1,B_1), (A_2, B_2) thỏa mãn A_1.A_2+B_1.B_2=0
\Leftrightarrow (1) có hai cặp nghiệm (A_1,B_1), (A_2, B_2) thỏa mãn \frac{B_1}{A_1}.\frac{B_2}{A_2}=-1 (A\neq0)
\Leftrightarrow (3) có hai nghiệm k_1,k_2 thỏa mãn k_1.k_2=-1
\Leftrightarrow \frac{t^2-3}{t^2-6t+7}=-1\Leftrightarrow t^2-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=1\\ t=2 \end{matrix}} \right.\Rightarrow M_1(1,2); M_2(2,1)
Vậy tồn tại hai điểm M_1(1,2); M_2(2,1) thuộc (d) thỏa mãn điều kiện.
|