MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT
I. LÝ THUYẾT
Cho phương trình bậc hai:
ax2+bx+c=0(a≠0)(∗)
Có hai nghiệm x1=−b−√Δ2a ; x2=−b+√Δ2a
Suy ra: x1+x2=−b−√Δ−b+√Δ2a=−2b2a=−ba
x1x2=(−b−√Δ)(−b+√Δ)4a2=b2−Δ4a2=4ac4a2=ca
Vậy đặt :
- Tổng nghiệm là S : S= x1+x2=−ba
- Tích nghiệm là P : P=x1x2=ca
Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (∗) có liên quan chặt chẽ
với các hệ số a,b,c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT
Trong chuyên đề này ta sẽ tìm hiểu 3 dạng toán ứng dụng định lí VI_ÉT
1. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao
cho chúng không phụ thuộc vào tham số.
2. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức
chứa nghiệm đã cho.
3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức
nghiệm
II. CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT
1. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao cho chúng không phụ
huộc vào tham số.
Phương pháp:
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a≠0 và Δ≥0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S=x1+x2 và P=x1x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2. Từ đó đưa ra
hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
Bài 1:
Cho phương trình: (m−1)x2−2mx+m−4=0 có 2 nghiệm x1,x2. Lập hệ
thức liên hệ giữa x1,x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì :
{−1≠0△′⩾
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}} \\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 4}}{{m - 1}} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = 2 + \frac{2}{{m - 1}}(1) \\
{x_1}.{x_2} = 1 - \frac{3}{{m - 1}}(2) \\
\end{array} \right.
Rút m từ (1) ta có :
\frac{2}{{m - 1}} = {x_1} + {x_2} - 2 \Leftrightarrow m - 1 = \frac{2}{{{x_1}
+ {x_2} - 2}} (3)
Rút m từ (2) ta có :
\frac{3}{{m - 1}} = 1 - {x_1}{x_2} \Leftrightarrow m - 1 = \frac{3}{{1 -
{x_1}{x_2}}} (4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
\frac{2}{{{x_1} + {x_2} - 2}} = \frac{3}{{1 - {x_1}{x_2}}}\\
\Leftrightarrow 2\left( {1 - {x_1}{x_2}} \right) = 3\left( {{x_1} + {x_2} - 2}
\right) \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2{x_1}{x_2} - 8 = 0
Bài 2:
Gọi x_1,x_2 là nghiệm của phương trình : (m-1)x^2-2mx+m-4=0 .
Chứng minh rằng biểu thức A=3(x_1+x_2)+2x_1x_2-8 không phụ thuộc giá
trị của m.
Giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm x_1 và x_2 thì :
\left\{ \begin{array}
m - 1 \ne 0 \\
\vartriangle ' \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 1 \\
{m^2} - (m - 1)(m - 4) \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 1 \\
5m - 4 \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 1 \\
m \geqslant \frac{4}{5} \\
\end{array} \right.
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}} \\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 4}}{{m - 1}} \\
\end{array} \right. thay vào A ta có:
A = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2{x_1}{x_2} - 8 = 3.\frac{{2m}}{{m - 1}}
+ 2.\frac{{m - 4}}{{m - 1}} - 8 \\ = \frac{{6m + 2m - 8 - 8(m - 1)}}{{m - 1}} =
\frac{0}{{m - 1}} = 0
Vậy A = 0 với mọi m \ne 1 và m \geqslant \frac{4}{5}. Do đó biểu thức A
không phụ thuộc vào m
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm
sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào
tham số.
Bài 3:
Cho phương trình : x^2-(m+2)x+(2m-1) có 2 nghiệm x_1 và x_2.
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x_1,x_2 sao cho x_1,x_2 độc lập
đối với m.
Hướng dẫn:
Dễ thấy \Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {2m - 1}
\right) = {m^2} - 4m + 8 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x_1 và x_2
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = m + 2 \\
{x_1}.{x_2} = 2m - 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m = {x_1} + {x_2} - 2(1) \\
m = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{2}(2) \\
\end{array} \right.
Từ (1) và (2) ta có:
{x_1} + {x_2} - 2 = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{2}
\Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} - 5 = 0
Bài 4:
Cho phương trình : x^2+(4m+1)x+2(m-4) .
Tìm hệ thức liên hệ giữa x_1 và x_2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn:
Dễ thấy \Delta = {(4m + 1)^2} - 4.2(m - 4) = 16{m^2} + 33 > 0 do
đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x_1 và x_2
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = - (4m + 1) \\
{x_1}.{x_2} = 2(m - 4) \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
4m = - ({x_1} + {x_2}) - 1(1) \\
4m = 2{x_1}{x_2} + 16(2) \\
\end{array} \right.
Từ (1) và (2) ta có:
- ({x_1} + {x_2}) - 1 = 2{x_1}{x_2} + 16 \Leftrightarrow
2{x_1}{x_2} + ({x_1} + {x_2}) + 17 = 0
2. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã
cho.
Phương pháp:
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x_1 và x_2
(thường là a \ne 0 và \Delta \ge 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn
là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Bài 1:
Cho phương trình : mx^2-6(m-1)x+9(m-3)=0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x_1 và x_2 thoả mãn hệ thức :
x_1+x_2=x_1x_2
Giải:
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x_1 và x_2 là :
\left\{ \begin{array}
m \ne 0 \\
\Delta ' = {\left[ {3\left( {m - 21} \right)} \right]^2} - 9(m - 3)m
\geqslant 0 \\
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 0 \\
\Delta ' = 9\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 9{m^2} + 27 \geqslant
0 \\
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 0 \\
\Delta ' = 9\left( {m - 1} \right) \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 0 \\
m \geqslant - 1 \\
\end{array} \right.
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: \left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = \frac{{6(m - 1)}}{m} \\
{x_1}{x_2} = \frac{{9(m - 3)}}{m} \\
\end{array} \right.
Và từ giả thiết: {x_1} + {x_2} = {x_1}{x_2}. Suy ra:
\frac{{6(m - 1)}}{m} = \frac{{9(m - 3)}}{m} \Leftrightarrow 6(m - 1) = 9(m -
3) \\ \Leftrightarrow 6m - 6 = 9m - 27 \Leftrightarrow 3m = 21 \Leftrightarrow
m = 7
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x_1 và x_2 thoả mãn hệ
thức : x_1+x_2=x_1x_2
Bài 2:
Cho phương trình : x^2-(2m+1)x+m^2+2=0
Tìm m để 2 nghiệm x_1 và x_2 thoả mãn hệ thức :
3x_1x_2-5(x_1+x_2)+7=0
Giải:
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm {x_1}\& {x_2} là :
\Delta ' = {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + 2) \geqslant 0
\Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} - 8 \geqslant 0
\Leftrightarrow 4m - 7 \geqslant 0 \Leftrightarrow m
\geqslant \frac{7}{4}
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: \left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = 2m + 1 \\
{x_1}{x_2} = {m^2} + 2 \\
\end{array} \right.
và từ giả thiết . Suy ra
\begin{array}
3({m^2} + 2) - 5(2m + 1) + 7 = 0 \\
\Leftrightarrow 3{m^2} + 6 - 10m - 5 + 7 = 0 \\
\Leftrightarrow 3{m^2} - 10m + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[
\begin{array}
m = 2(TM) \\
m = \frac{4}{3}(KTM) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm và thoả
mãn hệ thức :
Bài 3:
Cho phương trình : mx^2+2(m-4)x+m+7
Tìm m để 2 nghiệm x_1 và x_2 thoả mãn hệ thức : x_1-2x_2=0
Hướng dẫn:
- ĐKX Đ: m \ne 0\& m \leqslant \frac{{16}}{{15}}
-Theo VI-ÉT: \left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ - (m - 4)}}{m} \\
{x_1}{x_2} = \frac{{m + 7}}{m} \\
\end{array} \right.(1)
- Từ Suy ra: \left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = 3{x_2} \\
2({x_1} + {x_2}) = 3{x_1} \\
\end{array} \right. \Rightarrow 2{({x_1} + {x_2})^2} = 9{x_1}{x_2} (2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
{m^2} + 127m - 128 = 0 \Rightarrow {m_1} = 1;{m_2} = - 128
Bài 4:
Cho phương trình : x^2+(m-1)x+(5m-6)=0
Tìm m để 2 nghiệm x_1 và x_2 thoả mãn hệ thức : 4x_1+3x_2=1
Hướng dẫn:
ĐKXĐ: \Delta = {m^2} - 22m + 25 \geqslant 0 \Leftrightarrow 11 -
\sqrt {96} \leqslant m \leqslant 11 + \sqrt {96}
Theo VI-ÉT: \left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = 1 - m \\
{x_1}{x_2} = 5m - 6 \\
\end{array} \right.(1)
Từ : 4x_1+3x_2=1. Suy ra:
\begin{array}
\left\{ \begin{array}
{x_1} = 1 - 3({x_1} + {x_2}) \\
{x_2} = 4({x_1} + {x_2}) - 1 \\
\end{array} \right. \\ \Rightarrow {x_1}{x_2} = \left[ {1 - 3({x_1} +
{x_2})} \right].\left[ {4({x_1} + {x_2}) - 1} \right] \\
\Leftrightarrow {x_1}{x_2} = 7({x_1} + {x_2}) - 12{({x_1} +
{x_2})^2} - 1 \\
\end{array} (2)
Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[
\begin{array}
m = 0 \\
m = 1 \\
\end{array} \right. (thoả mãn ĐKXĐ)
Bài 5:
Cho phương trình : 3x^2-(3m-2)x-(3m+1)=0.
Tìm m để 2 nghiệm x_1 và x_2 thoả mãn hệ thức : 3x_1-5x_2=6
Hướng dẫn:
Vì \Delta = {(3m - 2)^2} + 4.3(3m + 1) = 9{m^2} + 24m + 16 = {(3m +
4)^2} \geqslant 0 với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân
biệt.
Theo VI-ÉT: \left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = \frac{{3m - 2}}{3} \\
{x_1}{x_2} = \frac{{ - (3m + 1)}}{3} \\
\end{array} \right.(1)
Từ giả thiết: .
Suy ra:
\begin{array}
\left\{ \begin{array}
8{x_1} = 5({x_1} + {x_2}) + 6 \\
8{x_2} = 3({x_1} + {x_2}) - 6 \\
\end{array} \right. \Rightarrow 64{x_1}{x_2} = \left[ {5({x_1} + {x_2}) +
6} \right].\left[ {3({x_1} + {x_2}) - 6} \right] \\
\Leftrightarrow 64{x_1}{x_2} = 15{({x_1} + {x_2})^2} - 12({x_1} + {x_2}) -
36 \\
\end{array} (2)
Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m + 96) = 0 \Leftrightarrow \left[
\begin{array}
m = 0 \\
m = - \frac{{32}}{{15}} \\
\end{array} \right. (thoả mãn)
3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Phương pháp:
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân
tích được:
C = \left[ \begin{array}
A + m \\
k - B \\
\end{array} \right. (trong đó A, B là các biểu thức
không âm ; m, k là hằng số) (*)
Thì ta thấy : C \geqslant m (v ì A \geqslant 0)
\Rightarrow \min C = m \Leftrightarrow A = 0
C \leqslant k (v ìB \geqslant
0) \Rightarrow \max C = k \Leftrightarrow B = 0
Bài 1:
Cho phương trình : x^2+(2m-1)x-m=0
Gọi x_1 và x_2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để:
A=x_1^2+x_2^2-6x_1x_2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Theo VI-ÉT: \left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = - (2m - 1) \\
{x_1}{x_2} = - m \\
\end{array} \right.
Theo đề bài : \begin{array}
A = x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} -
8{x_1}{x_2} \\
\\
\end{array}
\begin{array}
= {\left( {2m - 1} \right)^2} + 8m \\
= 4{m^2} - 12m + 1 \\
= {(2m - 3)^2} - 8 \geqslant - 8 \\
\end{array}
Suy ra: \min A = - 8 \Leftrightarrow 2m - 3 = 0 hay m =
\frac{3}{2}
Bài 2:
Cho phương trình : x^2-mx+m-1=0
Gọi x_1 và x_2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá
trị lớn nhất của biểu thức sau:
B=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2(x_1x_2+1)}
Giải:
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = m \\
{x_1}{x_2} = m - 1 \\
\end{array} \right.
\Rightarrow B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left(
{{x_1}{x_2} + 1} \right)}} = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{({x_1} + {x_2})}^2} +
2}} = \frac{{2(m - 1) + 3}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
B = \frac{{{m^2} + 2 - \left( {{m^2} - 2m + 1} \right)}}{{{m^2} + 2}} = 1 -
\frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}}
Vì {\left( {m - 1} \right)^2} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{{{{\left( {m - 1}
\right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \geqslant 0 \Rightarrow B \leqslant 1
Vậy \max {\text{B = 1}} \Leftrightarrow m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
B = \frac{{\frac{1}{2}{m^2} + 2m + 1 - \frac{1}{2}{m^2}}}{{{m^2} + 2}} =
\frac{{\frac{1}{2}\left( {{m^2} + 4m + 4} \right) - \frac{1}{2}\left( {{m^2} +
2} \right)}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{2\left(
{{m^2} + 2} \right)}} - \frac{1}{2}
Vì {\left( {m + 2} \right)^2} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{{{{\left( {m + 2}
\right)}^2}}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} \geqslant 0 \Rightarrow B
\geqslant - \frac{1}{2}
Vậy \min B = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - 2
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham
số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với
mọi m.
B = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} \Leftrightarrow B{m^2} - 2m + 2B - 1 =
0 (Với m là ẩn, B là tham số)
(**)
Ta có: \Delta = 1 - B(2B - 1) = 1 - 2{B^2} + B
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì \Delta \ge 0
hay
- 2{B^2} + B + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow 2{B^2} - B - 1 \leqslant 0
\Leftrightarrow \left( {2B + 1} \right)\left( {B - 1} \right) \leqslant 0
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}
\left\{ \begin{array}
2B + 1 \leqslant 0 \\
B - 1 \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}
2B + 1 \geqslant 0 \\
B - 1 \leqslant 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
\left\{ \begin{array}
B \leqslant - \frac{1}{2} \\
B \geqslant 1 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}
B \geqslant - \frac{1}{2} \\
B \leqslant 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leqslant B
\leqslant 1
Vậy: \max {\text{B = 1}} \Leftrightarrow m = 1
\min B = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - 2
Bài tập tự giải:
Bài 1:
Cho phương trình : x^2+4(m+1)x+2(m-4)=0. Tìm m để biểu thức
A=(x_1-x_2)^2 có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2:
Cho phương trình {x^2} - 2(m - 1)x - 3 - m = 0. Tìm m sao cho nghiệm
{x_1};{x_2} thỏa mãn điều kiệnx_1^2 + x_2^2 \geqslant 10.
Bài 3:
Cho phương trình : {x^2} - 2(m - 4)x + {m^2} - 8 = 0 xác định m để
phương trình có 2 nghiệm {x_1};{x_2}thỏa mãn
a) A = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2} đạt giá trị lớn nhất
b) B = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4:
Cho phương trình : {x^2} - (m - 1)x - {m^2} + m - 2 = 0. Với giá trị nào
của m, biểu thức C = x_1^2 + x_2^2 dạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5:
Cho phương trình {x^2} + (m + 1) + m = 0. Xác định m để biểu thức E =
x_1^2 + x_2^2 đạt giá trị nhỏ nhất.