PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG ĐA THỨC
Các dạng phương trình nghiệm nguyên đa thức:
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
2. Phương trình bậc 2 hai ẩn
3. Phương trình bậc cao hai ẩn
4. Phương trình đa thức nhiều ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
- Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
- Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn x)
theo ẩn kia.
- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của x
- Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của x bằng một số nguyên
t1, ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t1
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một
đa thức với các hệ số nguyên
Ví dụ 1:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
11x+18y=120
Giải:
Ta thấy 11x⋮6 nên x⋮6. Đặt x=6k (k nguyên).
Thay vào (1) và rút gọn ta được: 11k+3y=20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
y=20−11k3
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
y=7−4k+k−13
Lại đặt k−13 =t với t nguyên suy ra k=3t+1. Do đó:
=7−4(3t+1)+t=3−11tx=6k=6(3t+1)=18t+6
Thay các biểu thức của x và y vào (1), phương trình được nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm nguyên của (1) được biểu thị bởi công thức:
{=18t+6y=3−11t với t là số nguyên tùy ý
2. Phương trình bậc 2 hai ẩn
Ví dụ 2:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
5x – 3y = 2xy – 11
Giải:
Biểu thị y theo x:
(2x + 3)y = 5x + 11
Dễ thấy 2x + 3 \ne 0 (vì x nguyên ) do đó:
y = \frac{{5x + 11}}{{2x + 3}} = 2 + \frac{{x + 5}}{{2x + 3}}
Để y \in \mathbb{Z}phải có x + 5 \vdots 2x + 3
\Rightarrow 2(x + 5) \vdots 2x + 3
\Rightarrow 2x + 3 + 7 \vdots 2x + 3
\Rightarrow
7 \vdots 2x + 3
Nên (x,y)=(-1,6),(-2,-1),(2,3),(-5,2)
Thử lại các cặp giá trị trên của (x , y) đều thỏa mãn phương trình đã cho.
Ví dụ 3:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
{x^2} - 2x - 11 = {y^2}
Giải:
Cách
1: Đưa về phương trình ước số:
{x^2} - 2x + 1 - 12 = {y^2}
\Leftrightarrow {(x - 1)^2} - {y^2} = 12
\Leftrightarrow (x - 1 + y)(x - 1 - y) = 12
Ta có các nhận xét:
Vì (1) chứa y có số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng y \geqslant 0.
Thế thì x - 1 + y \geqslant x - 1 - y
(x - 1 + y) - (x - 1 - y) = 2y nên x - 1 + yvà x - 1 - y cùng tính chẵn
lẻ.
Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn.
Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp:
(x-1+y,x-1-y)=(6,2),(-2,6)
Do đó: (x,y)=(5,2),(-3,2)
Đáp số: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; 2), (-3 ; -2)
Cách
2: Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
{x^2} - 2x - (11 + {y^2}) = 0
\Delta ' = 1 + 11 + {y^2} = 12 + {y^2}
Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên:
\Delta ' là số chính phương \Leftrightarrow 12 + {y^2} = {k^2}(k \in
\mathbb{N})
\Leftrightarrow {k^2} - {y^2} = 12 \Leftrightarrow (k + y)(k - y) = 12
Giả sử y \geqslant 0 thì k + y \geqslant k – y
và k + y \geqslant 0
(k + y) – (k – y) = 2y nên k + y và k – y cùng
tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn.
Từ các nhận xét trên ta có:
\left\{ \begin{array}
k + y = 6 \\
k - y = 2 \\
\end{array} \right.
Do đó: y = 2
Thay vào (2): {x^2} - 2x - 15 = 0
\Rightarrow {x_1} = 5,{x_2} = - 3
Ta có bốn nghiệm: (5 ; 2), (5 ; -2), (-3 ; -2), (-3 ; 2)
Ví dụ 4:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
{x^2} +
2{y^2} + 3xy - x - y + 3 =
0
(1)
Giải:
Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
{x^2} + (3y
- 1)x + (2{y^2} - y + 3) =
0 (2)
\Delta = {(3y - 1)^2} - 4(2{y^2} - y + 3) = {y^2} - 2y - 11
Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là \Delta là số chính phương
\Leftrightarrow {y^2} - 2y - 11 = {k^2}(k \in
\mathbb{N})
(3)
Giải (3) với nghiệm nguyên ta được {y_1} = 5,{y_2} = - 3
Với y = 5 thay vào (2) được {x^2} + 14x + 48 = 0. Ta có: {x_1} = -
8,{x_2} = - 6
Với y = -3 thay vào (2) được {x^2} - 10x + 24 = 0. Ta có {x_3} = 6,{x_4} =
4
Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3)
3. Phương trình bậc cao hai ẩn
Ví dụ 5:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) =
{y^2} (1)
Giải:
Nếu y thỏa mãn phương trình thì – y cũng thỏa mãn, do đó ta giả sử y
\geqslant 0
(1) \Leftrightarrow ({x^2} + 3x)({x^2} + 3x + 2) = {y^2}
Đặt {x^2} + 3x + 2 + 1 = a, ta được:
(a - 1)(a + 1) = {y^2} \Leftrightarrow {a^2} - 1 =
{y^2}
\Leftrightarrow (a + y)(a - y) = 1
Suy ra a + y = a – y, do đó y = 0
Thay vào (1) được: {x_1} = 0;{x_2} = - 1;{x_3} = - 2;{x_4} = - 3
Đáp số: (0 ; 0), (-1 ; 0), (-2 ; 0), (-3 ; 0)
Ví dụ 6:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
{x^3} - {y^3} = xy +
8
(1)
Giải:
Cách 1: |x - y|.|{x^2} + xy + {y^2}| = |xy + 8|
Dễ thấy x \ne y, vì nếu x = y thì (1) trở thành 0 = {x^2} + 8, loại.
Do x, y nguyên nên |x - y| \geqslant 1
Suy ra: |{x^2} + xy + {y^2}| \leqslant |xy + 8|
Do đó: {x^2} + xy + {y^2} \leqslant |xy +
8|
(2)
Xét hai trường hợp:
xy + 8 < 0. Khi đó (2) trở thành:
{x^2} + xy + {y^2} \leqslant - xy - 8 \Leftrightarrow {(x + y)^2}
\leqslant - 8, loại
xy + 8 \geqslant 0. Khi đó (2) trở thành:
{x^2} + xy + {y^2} \leqslant xy + 8 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \leqslant
8 (3)
Do đó: {x^2},{y^2} \in \{ 0;1;4\}
Nếu x = 0 thì từ (1) có {y^3} = - 8 nên y = - 2
Nếu y = 0 thì từ (1) có {x^3} = - 8 nên x = 2
Nếu x, y khác 0 thì {x^2},{y^2} \in \{ 1;4\} . Do x \ne y nên chỉ có:
\left\{ \begin{array}
{x^2} = 1 \\
{y^2} = 4 \\
\end{array} \right. hoặc \left\{ \begin{array}
{x^2} = 4 \\
{y^2} = 1 \\
\end{array} \right.
Như vậy trong hai số x và y có một số chẵn, một số lẻ. Khi đó vế trái của
(1) lẻ còn vế phải của (1) chẵn, không xảy ra.
Đáp số: (0 ; -2), (2 ; 0)
Cách
2: {x^3} - {y^3} - xy =
8
(1)
\Leftrightarrow 27{x^3} - 27{y^3} - 27xy
= 216
\Leftrightarrow 27{x^3} - 27{y^3} - 1 -
27xy = 215 (2)
Ta thấy 27{x^3}, - 27{y^3}, - 1 là lập phương của 3x, - 3y, -
1còn 27xy là ba lần tích của ba số ấy. Áp dụng hằng đẳng thức:
{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = (a + b + c).\frac{{{{(a - b)}^2} + {{(b -
c)}^2} + {{(c - a)}^2}}}{2}
Với a = 3x, b = -3y, c = - 1, ta biến đổi (2) thành:
(3x - 3y - 1).\left[ {\frac{{{{(3x + 3y)}^2} + {{(1 - 3y)}^2} + {{(3x +
1)}^2}}}{2}} \right] = 215 (3)
Đặt biểu thức trong dấu móc của (3) là A.
Ta thấy A > 0 nên A và 3x - 3y - 1 là ước tự nhiên của 215. Phân tích
ra thừa số nguyên tố: 215 = 5.43 nên 215 cò bốn ước tự nhiên: 1, 5, 43, 215.
Do 3x - 3y - 1 chi cho 3 dư 2 nên 3x - 3y - 1 \in \{ 5;215\}
Xét hai trường hợp:
\left\{ \begin{array}
3x - 3y - 1 = 5(4) \\
A = 43(5) \\
\end{array} \right. và \left\{
\begin{array}
3x - 3y - 1 = 215 \\
A = 1 \\
\end{array} \right.
Trường
hợp 1: từ (4) suy ra x – y = 2. Thay y = x – 2 vào (5) được:
{[3x + 3(x - 2)]^2} + {[1 - 3(x - 2)]^2} + {(3x + 1)^2} = 86
Rút gọn được: x(x – 2) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0,{x_2} = 2
Với x = 0 thì y = 2. Với x =2 thì y =0
Trường
hợp 2: Từ A = 1 suy ra:
{(3x + 3y)^2} + {(1 - 3y)^2} + {(3x + 1)^2} = 2
Tổng của ba số chính phương bằng 2 nên có một số bằng 0, hai số bằng số 1.
Số bằng 0 không thề là 1 – 3y hoặc 3x + 1, do đó 3x + 3y = 0.
Nghiệm nguyên của hệ:
\left\{ \begin{array}
3x + 3y = 0 \\
{(1 - 3y)^2} = 1 \\
{(3x + 1)^2} = 1 \\
\end{array} \right. là x = y = 0, không thỏa mãn 3x
– 3y – 1 = 215.
Đáp số: (0 ; -0), (2 ; 0)
Cách
3: {x^3} - {y^3} = xy + 8
\Leftrightarrow {(x - y)^3} + 3xy(x - y) = xy + 8
Đặt x – y = a, xy = b ta có:
{a^3} + 3ab = b + 8
\Leftrightarrow {a^3} - 8 = - b(3a - 1)
Suy ra: {a^3} - 8 \vdots 3a - 1
\Rightarrow 27({a^3} - 8) \vdots 3a - 1
\Rightarrow 27{a^3} - 1 - 215 \vdots 3a - 1
Do 27{a^3} - 1 \vdots 3a - 1 nên 215 \vdots 3a - 1
Phân tích ra thứa số nguyên tố: 215 = 5.43
Do đó 3a - 1 \in \{ \pm 1; \pm 5; \pm 43; \pm 215\}
Do 3a – 1 chia cho 3 dư 2 nên 3a - 1 \in \{ - 1;5; - 43;215\}
Ta có: Do b = \frac{{{a^3} - 8}}{{1 - 3a}} nên:
(a,b)=(0,-8),(2,0),(-14,-64),(72,-1736)
Chú ý rằng {(x - y)^2} + 4xy \geqslant 0 nên {a^2} + 4b \geqslant 0, do đó
trong bốn trường hợp trên chỉ có a = 2;b = 0. Ta được: x – y = 2; xy = 0
Đáp số: (0 ; -2) và (2 ; 0)
4. Phương trình đa thức nhiều ẩn
Ví dụ 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
6x + 15y + 10z = 3
Giải:
Ta thấy10z \vdots 3 nên z \vdots 3. Đặt z = 3k ta
được:
6x + 15y + 10.3k = 3
\Leftrightarrow 2x + 5y + 10k = 1
Đưa về phương trình hai ẩn x, y với các hệ số tương ứng 2 và 5 là hai số
nguyên tố cùng nhau.
2x + 5y = 1 - 10k
x = \frac{{1 - 10k - 5y}}{2} = - 5k - 2y + \frac{{1 - y}}{2}
Đặt \frac{{1 - y}}{2} = t với t nguyên. Ta có:
\begin{array}
y = 1 - 2t \\
x = - 5k - 2(1 - 2t) + t = 5t - 5k - 2 \\
z = 3k \\
\end{array}
Nghiệm của phương trình: (5t - 5k - 2;1 - 2t;3k) với t, k là các số nguyên
tùy ý.
Ví dụ 8:
Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:
{x^2} + {y^2} + {z^2} =
1999 (1)
Giải:
Ta biết rằng số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, còn số chính phương lẻ
thì chia cho 4 dư 1 và chia cho 8 dư 1.
Tổng {x^2} + {y^2} + {z^2} là số lẻ nên trong ba số {x^2};{y^2};{z^2}phải
có: hoặc có một số lẻ, hai số chẵn; hoặc cả ba số lẻ.
Trường hợp trong ba số {x^2};{y^2};{z^2} có một số lẻ, hai số chẵn thì vế
trái của (1) chia cho 4 dư 1, còn vế phải là 1999 chia cho 4 dư 3, loại.
Trong trường hợp ba số {x^2};{y^2};{z^2}đều lẻ thì vế trái của (1) chia cho 8
dư 3, còn vế phải là 1999 chia cho 8 dư 7, loại.
Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
7(x + y) = 3(x^2 – xy + y^2)
Hướng dẫn:
Đáp số : (x, y) = (4, 5) hoặc (5,4)
Cách
1: Đổi biến u = x + y, v = x – y ta đưa về phương trình:
28u = 3(u^2 + 3v^2). (*)
Từ (*) chứng minh được u chia hết cho 9 và 0 \le u \le 9 suy ra u = 0
hoặc u = 9
Cách
2: Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai đối với x.
3x^2 – (3y + 7)x + 3y^2 – 7y = 0 (1)
Để (1) có nghiệm thì biệt thức \Delta phải là số chính phương
Từ đó tìm được y
Bài 2:
Tìm x, y \in {\mathbb{Z}^ + } thỏa mãn :
x^{2000} +
y^{2000} = 2003^{2000} (1)
Hướng dẫn:
Đáp số: phương trình vô nghiệm
Giả sử x \ge y. Từ (1) suy ra x < 2003 và x + 1 < 2003
Ta có
2003^{2000} ≥ (x + 1)^{2000} > x^{2000} +
2000.x{1999}
\Rightarrow y^{2000} > 2000.x^{1999} ≥ 2000.y^{1999} \Rightarrow
2003 > x ≥ y > 2000
Vậy x = 2002, y = 2001
Thử lại không thỏa mãn (1)
Bài 3:
Chứng minh \forall n \in {\mathbb{N}^*}, phương trình {x_1} + {x_2} + ... +
{x_n} = {x_1}.{x_2}...{x_n} luôn có nghiệm trong {\mathbb{N}^*}.
Hướng dẫn:
Cho {x_1} = {x_2} = ... = {x_{n - 2}} = 1 ta đi đến phương trình
({x_{n - 1}} -
1)({x_n} - 1) = n -
1. (1)
Dễ thấy {x_n} = nvà{x_{n - 1}} = 2 thỏa mãn (1)
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm nguyên dương là
({x_1};{x_2};...;{x_{_n}}) = (1;1;...;2;n)
Bài4:
Chứng minh rằng phương trình x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz = 2001^n luôn có
nghiệm nguyên với mọi n ≥ 2
Hướng dẫn:
Đặt {2001^n} = 9m. Bộ ba số (m; m – 1; m + 1) là một nghiệm của phương
trình đã cho