|
|
A. BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi α, ta luôn có bất đẳng thức :
4sin3α+5≥4cos2α+5sinα
Lời giải:
Bất đẳng thức (BĐT) đã cho tương đương với BĐT sau :
4(3sinα−4sin3α)+5≥4(1−2sin2α)+5sinα
⇔16sin3α−8sin2α−7sinα−1≤0
⇔(sinα−1)(4sinα+1)2≤0(1)
Do sinα≤1∀α⇒(1) đúng. Từ đây ta có ĐPCM.
Dấu bằng xảy ra ⇔[sinα=1sinα=−14⇔[α=π2+2kπα=−arcsin14+2kπα=π+arcsin14+2kπ(k∈Z).
Ví dụ 2. Không dùng bảng tính hay máy tính cá nhân. Chứng minh rằng :
tan34∘>23
Lời giải :
Ta có :
tan34∘=tan(45∘−11∘)=1−tan11∘1+tan11∘(1)
Từ (1) suy ra :
tan34∘>23⇔1−tan11∘1+tan11∘>23⇔3(1−tan11∘)>2(1+tan11∘)⇔tan11∘<15(2)
Chú ý rằng : tan11∘>tan0∘=0⇒1+tan11∘>0.
Đặt tanα=15 với 0∘<α<90∘. Ta có :
tan2α=2tanα1−tan2α=251−125=512⇒tan4α=2tan2α1−tan22α=561−25144=120119>1
⇒4α>45∘⇒α>11∘, vậy (2) đúng.
Ta có ĐPCM.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng :
1−sinπ142sinπ14>√3cosπ7
Lời giải:
Ta có :
1−sinπ14=sin3π14−sinπ14+sin5π14−sin3π14+sin7π14−sin5π14
=2sinπ14(cosπ7+cos2π7+cos3π7)(1)
Từ (1) suy ra :
1−sinπ142sinπ14=cosπ7+cos2π7+cos3π7(2)
Mặt khác ta có :
cosπ7=12(cosπ7+cos3π7+cos5π7+cosπ7−cos3π7−cos5π7)
=12(cosπ7+cos3π7+cos5π7+cosπ7+cos4π7+cos2π7)
=cosπ7cos2π7+cos2π7cos3π7+cos3π7cosπ7(3)
Đặt x=cosπ7,y=cos2π7,z=cos3π7
Khi đó từ (2) và (3) suy ra BĐT cần chứng minh có dạng sau:
x+y+z>√3(xy+yz+zx)(4)
Do x,y,z>0 nên (4)⇔(x+y+z)2>3(xy+yz+zx)
⇔(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2>0(5)
Do x,y,z đôi một khác nhau, nên (5) đúng và đó chính là ĐPCM.
B. BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN
Ví dụ 4.
Cho {sin2a+sin2b+sin2c=1a,b,c≠π2+kπ(k∈Z)
Chứng minh BĐT :
(tanatanb+tanbtanc+tanctana)23+2(tanatanbtanc)2≤1
Lời giải :
Vì sin2a+sin2b+sin2c=1⇒cos2a+cos2b+cos2c=2
⇒11+tan2a+11+tan2b+11+tan2c=2
Thực hiện quy đồng và rút gọn ta được
⇒tan2atan2b+tan2btan2c+tan2ctan2a+2tan2atan2btan2c=1(1)
Đặt x=tanatanb,y=tanbtanc,x=tanctana thì từ (1) ta có :
x2+y2+z2+2xyz=1 hay 2xyz=1−(x2+y2+z2)
Suy ra 2(tanatanbtanc)2=2xyz=1−(x2+y2+z2)
Như vậy BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT
(x+y+z)23+1−(x2+y2+z2)≤1
⇔(x+y+z)2≤3(x2+y2+z2)
⇔(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥0(3)
Vì (3) đúng nên ta có ĐPCM.
Ví dụ 5.
Cho α,β∈(0,π2) và tanβ=3tanα.
Chứng minh rằng :
β≤α+π6
Lời giải :
Do α,β∈(0,π2) và tanβ=3tanα⇒tanβ>tanα⇒β>α⇒0<β−α<π2 .
Ta có tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanβtanα=2tanα1+3tan2α(1)
Theo BĐT Cô-si, ta có :
1+3tan2α≥2√3tan2α=2√3tanα ( do α∈(0,π2) nên tanα>0 ) (2)
Thay (2) vào (1) ta có : tan(β−α)≤2tanα2√3tanα=1√3=tanπ6
Do 0<β−α<π2 nên từ
tan(β−α)≤tanπ6⇒β−α≤π6⇒β≤α+π6. Đây là ĐPCM.
Dấu bằng xảy ra ⇔3tan2α=1⇔tanα=1√3⇔{α=π6β=π3
Ví dụ 6. Cho x,y,z>0 và x+y+z≤π. Chứng minh rằng
sinx+siny+sinz+sin(x+y+z)≤sin(x+y)+sin(y+z)+sin(z+x)
Lời giải :
Xét hiệu :
S=sin(x+y)+sin(y+z)+sin(z+x)−(sinx+siny+sinz+sin(x+y+z))
=[sin(x+y)−sin(x+y+z)]+[sin(y+z)−siny]+[sin(z+x)−sinx]−sinz
=−2cos(x+y+z2)sinz2+2cos(y+z2)sinz2+2cos(x+z2)sinz2−2sinz2cosz2
=2sinz2[cos(y+z2)+cos(x+z2)−cos(x+y+z2)−cosz2]
=2sinz2[2cosx+y+z2cosx−y2−2cosx+y+z2cosx+y2]
=4sinz2cosx+y+z2(cosx−y2−cosx+y2)
=8sinx2siny2sinz2cosx+y+z2(1)
Do x,y,z>0 và x+y+z≤π⇒x,y,z∈(0,π)
⇒sinx2>0,siny2>0,sinz2>0.
Ngoài ra cosx+y+z2≥0.
Vậy từ (1) suy ra S≥0. Đây là ĐPCM.
Dấu bằng xảy ra ⇔cosx+y+z2=0⇔{x+y+z=πx,y,z>0
C. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
f(x,y,z)=√1+tanxtany+√1+tanytanz+√1+tanztanx
Xét trên miền : D={(x,y,z):x,y,z≥0vàx+y+z=π2}
Lời giải :
Áp dụng BĐT Bunhiacopski dạng
(a21+b21+c21)(a22+b22+c22)≥(a1a2+b1b2+c1c2)2
Với
a1=√1+tanxtanyb1=√1+tanytanzc1=√1+tanztanx
a2=1b2=1c2=1
Ta có :
(3+tanxtany+tanytanz+tanztanx).3≥(√1+tanxtany+√1+tanytanz+√1+tanztanx)2(1)
Chú ý rằng với (x,y,z)∈D ta có ngay : tanxtany+tanytanz+tanztanx=1
Khi đó BĐT (1) trở thành :
f(x,y,z)≤2√3
Lại
có : (π6,π6,π6)∈D và f(π6,π6,π6)=2√3
Vậy ta có : max
Ví dụ 8. Cho a, b, c, d >0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
f(x, y)=\displaystyle \frac{a\sin^4x+b\cos^4y}{c\sin^2x+d\cos^2y}+
\frac{a\cos^4x+b\sin^4y}{c\cos^2x+d\sin^2y}
Xét trên miền \mathbb{D}=\left\{ {(x, y) : f(x,y) \text{ có nghĩa }} \right\}.
Lời giải :
Đặt
f_1(x, y)=\displaystyle \frac{\sin^4x}{c\sin^2x+d\cos^2y}+ \frac{\cos^4x}{c\cos^2x+d\sin^2y}
f_2(x, y)=\displaystyle \frac{\cos^4y}{c\sin^2x+d\cos^2y}+ \frac{\sin^4x}{c\cos^2x+d\sin^2y}
Khi đó ta có : f(x, y)=af_1(x, y)+bf_2(x, y)
Tìm giá trị lớn nhất
Ta thấy,
f_1(x,y)\le \displaystyle \frac{\sin^4x}{c\sin^2x}+
\frac{\cos^4x}{c\cos^2x}=\frac{1}{c}\left ( \sin^2x+\cos^2x \right
)=\frac{1}{c}
Tương tự có f_2(x,y) \le \frac{1}{d}.
do a>0, b>0\Rightarrow f(x,y) \le \frac{a}{c}+\frac{b}{d} (1)
Mặt khác f\left ( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right )= \frac{a}{c}+\frac{b}{d} (2)
Từ (1) và (2) suy ra \max_{\mathbb{D}}f(x,y)= \frac{a}{c}+\frac{b}{d} .
Tìm giá trị nhỏ nhất
Để ý rằng c+d=c\left ( \sin^2x+\cos^2x \right )+d\left ( \sin^2y+\cos^2y \right ), vì thế áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có:
(c+d)f_1(x,y)=\left[
{\left ( c\sin^2x+d\cos^2y \right )+\left (c\cos^2x+ d\sin^2y \right )}
\right]\left (\displaystyle \frac{\sin^4x}{c\sin^2x+d\cos^2y}+
\frac{\cos^4x}{c\cos^2x+d\sin^2y}\right ) \ge \left ( \sin^2x+\cos^2x
\right )^2=1
\Rightarrow f_1(x, y) \ge \frac{1}{c+d} (3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra :
\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\sin^2x}{c\sin^2x+d\cos^2y}= \frac{\cos^2x}{c\cos^2x+d\sin^2y}= \frac{1}{c+d}
\Leftrightarrow \sin^2x=\cos^2x
Tương tự ta cũng có : f_2(x, y) \ge \frac{1}{c+d} (4)
Và dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow \sin^2x=\cos^2x.
Từ (3) và (4) có : f(x,y)=af_1(x, y)+bf_2(x, y) \ge \frac{a+b}{c+d}
Mặt khác thấy rằng f\left ( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right )= \frac{a+b}{c+d}.
Vậy \min_{\mathbb{D}}f(x,y)= \frac{a+b}{c+d} .
Ví dụ 9.
Cho f(x)=\cos 2x + a\cos (x+\phi), với a, \phi là số cố định cho trước.
Chứng minh rằng :
\left (\min_{x \in \mathbb{R}}f(x) \right )^2+\left (\max_{x \in \mathbb{R}}f(x) \right )^2 \ge 2
Lời giải :
Ta có : \begin{cases}f(0)=1+a\cos \phi \\ f(\pi)=1+a\cos(\pi+\phi)=1-a\cos \phi \end{cases}
\Rightarrow f(0) + f(\pi)=2\Rightarrow \max\left\{ {f(0), f(\pi)} \right\} \ge 1.
\Rightarrow
\max_{x \in \mathbb{R}}f(x) \ge \max\left\{ {f(0), f(\pi)} \right\} \ge
1\Rightarrow \left (\max_{x \in \mathbb{R}}f(x) \right )^2 \ge
1 (1)
Ta lại có : \begin{cases}f\left (\frac{\pi}{2}
\right )=-1+a\cos\left (\frac{\pi}{2} +\phi \right )=-1-a\sin \phi \\
f\left (-\frac{\pi}{2} \right )=-1+a\cos\left (-\frac{\pi}{2} +\phi
\right )=-1+a\sin \phi \end{cases}
\Rightarrow f\left (\frac{\pi}{2} \right ) + f\left (-\frac{\pi}{2}
\right )=-2\Rightarrow \min\left\{ {f\left (\frac{\pi}{2} \right
),f\left (-\frac{\pi}{2} \right )} \right\} \le -1.
\Rightarrow
\min_{x \in \mathbb{R}}f(x) \le \min\left\{ {f\left (\frac{\pi}{2} \right ),f\left (-\frac{\pi}{2} \right )} \right\} \le
-1\Rightarrow \left (\min_{x \in \mathbb{R}}f(x) \right )^2 \ge
1 (1)
Từ (1) và (2) suy ra :
\left (\min_{x \in \mathbb{R}}f(x) \right )^2+\left (\max_{x \in \mathbb{R}}f(x) \right )^2 \ge 2
Đây là ĐPCM.
D. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi a, b, \psi ta có :
\left (\sin \psi+a\cos \psi\right )\left (\sin \psi+b\cos\psi \right )
\le \displaystyle 1+ \left (\frac{a+b}{2} \right )^2
Bài 2. Chứng minh rằng :
\displaystyle \frac{1}{1+\cos 2\alpha}+ \frac{1}{1+\cos 4\alpha}+ \frac{1}{1-\cos 6\alpha}>2 với mọi \alpha làm cho về trái có nghĩa.
Bài 3.
Cho \displaystyle \frac{\pi}{3} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3} \le \beta\le \frac{\pi}{2}. Chứng minh BĐT :
\displaystyle \frac{2}{\cos \alpha \cos \beta}-1 \le \sqrt{\left
(\frac{1}{\cos \alpha}-1 \right )\left (\frac{1}{\cos \beta}-1 \right
)}
Bài 4.
Cho a, b, c, d \in \left[ {-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}} \right] và thỏa mãn hệ điều kiện :
\begin{cases}\sin a + \sin b + \sin c+ \sin d= 1\\ \cos 2a+ \cos2b +\cos 2c +\cos 2d \ge \frac{10}{3} \end{cases}
Chứng minh rằng a, b, c, d \in \left[ {0, \frac{\pi}{6}} \right]
Bài 5.
Cho a, b, c >0. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
f(x, y) = \displaystyle \frac{\cos^2 x}{a}+\frac{\sin^2y}{b}
Xét trên miền \mathbb{D}=\left\{ {(x,y): a\sin x + b\cos y=c} \right\} với giả thiết c \le \min\left\{ {\displaystyle \frac{a^3+b^3}{a^2} , \frac{a^3+b^3}{b^2}} \right\}
Bài 6. Cho p, q \ge 1 là các số tự nhiên. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x)=\sin^px. \cos^q x khi 0 \le x \le \frac{\pi}{2}.
|