BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ HÀM PHÂN THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN

BIỆN LUẬN THAM SỐ ĐỂ HÀM PHÂN THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và có đạo hàm trên D
* Hàm số đồng biến trên $(a,b) \subset D\,\,\,khi\,\,\,f'(x) \geqslant 0,\forall x \in (a,b)$
* Hàm số nghịch biến trên $(a,b) \subset D\,\,\,khi\,\,\,f'(x) \leqslant 0,\forall x \in (a,b)$

2. Xét tam thức bậc hai $f(x) = {\text{a}}{{\text{x}}^{\text{2}}} + bx + c$, $a \ne 0$
* ${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c \geqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}    aa> 0  \\   \Delta  \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.$
* ${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c \leqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   aa< 0  \\   \Delta  \leqslant 0  \\ \end{array}  \right.$

3. Giả sử tồn tại $\mathop {m{\text{ax}}}\limits_{x \in K} f(x)$
$\begin{array}   f(x) < g(m),\forall x \in K \Leftrightarrow \mathop {m{\text{ax}}}\limits_{x \in K} f(x) < g(m)  \\   f(x) \leqslant g(m),\forall x \in K \Leftrightarrow \mathop {m{\text{ax}}}\limits_{x \in K} f(x) \leqslant g(m)  \\ \end{array}$
Giả sử tồn tại $\mathop {\min }\limits_{x \in K} f(x)$
$\begin{array}   f(x) > g(m),\forall x \in K \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in K} f(x) > g(m)  \\   f(x) \geqslant g(m),\forall x \in K \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in K} f(x) \geqslant g(m)  \\ \end{array}$

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tìm m  để hàm số $y = \frac{{mx - 2}}{{x + m - 3}}$ luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ {3 - m} \right\}$
$y' = \frac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{{(x + m - 3)}^2}}}$
Hàm số luôn đồng biến khi $y' \geqslant 0,\forall x \ne 3 - m$
$\begin{array}    \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \geqslant 0  \\    \Leftrightarrow m \leqslant 1 \vee m \geqslant 2  \\ \end{array}$

Bài 2.
Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + {m^2}x + m - 2}}{{x + 1}}$. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}$
$y' = \frac{{{x^2} + 2x + {m^2} - m + 2}}{{{{(x + 1)}^2}}}$
Hàm số đồng biến trên tập xác định khi $y' \geqslant 0,\forall x \ne  - 1$
$\begin{array}    \Leftrightarrow {x^2} + 2x + {m^2} + m - 2 \geqslant 0,\forall x \ne  - 1  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = 1 > 0  \\   \Delta  =  - {m^2} - m + 3 \leqslant 0  \\   {( - 1)^2} + 2( - 1) + {m^2} + m - 2 \ne 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m < \frac{{1 + \sqrt {13} }}{{ - 2}} \vee m > \frac{{1 - \sqrt {13} }}{{ - 2}}  \\ \end{array}$

Bài 3.
Cho hàm số $y = \frac{x}{{x - m}}$. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ m \right\}$
$y' = \frac{{ - m}}{{{{(x - m)}^2}}}$
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi $y' \geqslant 0,\forall x \ne m$
$\begin{array}    \Leftrightarrow  - m \geqslant 0  \\    \Leftrightarrow m \leqslant 0  \\ \end{array}$

Bài 4.
Cho hàm số $y = \frac{{m{x^2} - (m + 2)x + {m^2} - 2m + 2}}{{x - 1}}$. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$
$y' = \frac{{m{x^2} + 2mx - {m^2} + 3m}}{{{{(x - 1)}^2}}}$
Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow y' = 0 \Rightarrow$ chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi $y' \leqslant 0,\forall x \ne 1$
$\begin{array}    \Leftrightarrow m{x^2} + 2mx - {m^2} + 3m \leqslant 0,\forall x \ne 1  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = m < 0  \\   \Delta ' = {m^3} - 2{m^2} \leqslant 0  \\   m{1^2} + 2m.1 - {m^2} + 3m \ne 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   m < 0  \\   m - 2 \leqslant 0  \\   m \ne 0,m \ne 6  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m < 0  \\ \end{array}$

Bài 5.
Cho hàm số $y = \frac{{(m + 1){x^2} - 2mx - ({m^3} - {m^2} + 2)}}{{x - m}}$. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ m \right\}$
$y' = \frac{{(m + 1){x^2} - 2({m^2} + m)x + {m^3} + {m^2} + 2}}{{{{(x - m)}^2}}}$
Trường hợp 1: $m =  - 1 \Rightarrow y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - 1 \Rightarrow$ m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne  - 1$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x \ne m$
$\begin{array}    \Leftrightarrow (m + 1){x^2} - 2({m^2} + m)x + {m^3} + {m^2} + 2 \geqslant 0,\forall x \ne m  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   a = m + 1 > 0  \\   \Delta  =  - 2m - 2 \leqslant 0  \\   (m + 1){m^2} - 2({m^2} + m).m + {m^3} + {m^2} + 2 \ne 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   m >  - 1  \\   m \geqslant  - 1  \\   2 \ne 0  \\ \end{array}  \right.  \\    \Leftrightarrow m >  - 1  \\ \end{array}$

Bài 6.
Tìm m để hàm số $y = \frac{{m{x^2} + (1 - m)x + 2m}}{{2x - 3}}$ đồng biến trên $\left[ {4; + \infty } \right)$
Lời giải:
$y' = \frac{{2m{x^2} - 6mx - 3 - m}}{{{{(2x - 3)}^2}}}$
Hàm số đồng biến trên $\left[ {4; + \infty } \right)$khi $y' = \frac{{2m{x^2} - 6mx - 3 - m}}{{{{(2x - 3)}^2}}} \geqslant 0,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)$
$\begin{array}    \Leftrightarrow 2m{x^2} - 6mx - 3 - m \geqslant 0,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)  \\    \Leftrightarrow m \geqslant \frac{3}{{2{x^2} - 6x - 1}} = g(x),\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right)  \\    \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {m{\text{ax}}}\limits_{x \in \left[ {4; + \infty } \right)} g(x)  \\ \end{array}$
Ta có: $g'(x) = \frac{{ - 6(2x - 3)}}{{{{(2{x^2} - 6x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right) \Rightarrow$ g(x) là hàm số nghịch biến trên $\left[ {4; + \infty } \right)$ nên $m \geqslant \mathop {m{\text{ax}}}\limits_{x \in \left[ {4; + \infty } \right)} g(x) = f(4) = \frac{3}{7}$

Bài 7.
Định m để hàm số $y = \frac{{ - 2{x^2} - 3x + m}}{{2x + 1}}$ nghịch biến trong khoảng $\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$
$y' = \frac{{ - 4{x^2} - 4x - 3 - 2m}}{{{{(2x + 1)}^2}}}$
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$ khi $y' = \frac{{ - 4{x^2} - 4x - 3 - 2m}}{{{{(2x + 1)}^2}}} \leqslant 0,\forall x \in \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$
$\begin{array}    \Leftrightarrow m \geqslant  - 2{x^2} - 2x - \frac{3}{2} = g(x),\forall x \in \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)  \\    \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)} g(x)  \\ \end{array}$
Ta có: $g'(x) =  - 4x - 2 < 0,\forall x \in \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$
Vậy: $m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)} g(x) = g\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 1$

Bài 8.
Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} + mx + 2 - m}}{{x + m - 1}}$ (Cm). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ {1 - m} \right\}$
$y' = \frac{{2{x^2} + 4(m - 1)x + {m^2} - 2}}{{{{(x + m - 1)}^2}}}$
Hàm số đồng biến trên $(0; + \infty )$ khi $y' = \frac{{2{x^2} + 4(m - 1)x + {m^2} - 2}}{{{{(x + m - 1)}^2}}} \geqslant 0,\forall x \in (0; + \infty )$
$\Leftrightarrow g(x) = 2{x^2} + 4(m - 1)x + {m^2} - 2 \geqslant 0,\forall x \in (0; + \infty )$
Tam thức g(x) có biệt thức $\Delta ' = 2{(m - 2)^2}$. Ta xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: $\Delta  = 0 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow y' \geqslant 0,\forall x \ne  - 1 \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $(0; + \infty )$
Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán
+ Trường hợp 2: $\Delta  > 0 \Leftrightarrow m \ne 2$
Với điều kiện trên thì điều kiện bài toán được thỏa khi phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa ${x_1} < {x_2} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   \Delta  > 0  \\   S = {x_1} + {x_2} > 0  \\   P = {x_1}{x_2} > 0  \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   m \ne 0  \\   2(1 - m) > 0  \\   \frac{{{m^2} - 2}}{2} > 0  \\ \end{array}  \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}   m \ne 0  \\   m < 1  \\   m <  - \sqrt 2  \vee m > \sqrt 2   \\ \end{array}  \right. \Leftrightarrow m <  - \sqrt 2$
Kết luận: với $m <  - \sqrt 2  \vee m = 2$ thì yêu cầu bài toán được thỏa

Bài 9.
Giải bất phương trình $3\sqrt {3 - 2x}  + \frac{5}{{\sqrt {2x - 1} }} - 2x \leqslant 6$             (1)
Lời giải
Điều kiện của bất phương trình là $\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Xét $g(x) = 3\sqrt {3 - 2x}  + \frac{5}{{\sqrt {2x - 1} }} - 2x \Rightarrow g'(x) = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {3 - 2x} }} - \frac{{10}}{{2x - 1}} - 2 < 0,\forall x \in (*)$
$\Rightarrow$ g(x) là hàm số nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$
Mặt khác: g(1) = 6
Khi đó: $(1) \Leftrightarrow g(x) \leqslant 6 \Leftrightarrow g(x) \leqslant g(1) \Leftrightarrow x \geqslant 1$
Kết luận: $x \geqslant 1$ là nghiệm của bất phương trình
Giải bất phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x + 3}  - \sqrt {{x^2} - 6x + 11}  > \sqrt {3 - x}  - \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Điều kiện của bất phương trình: $1 \leqslant x \leqslant 3$
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 2}  + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {{{(x - 3)}^2} + 2}  + \sqrt {3 - x}$
Xét $f(t) = \sqrt {{t^2} + 2}  + \sqrt t ,\,t \geqslant 0 \Rightarrow f'(t) = \frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 2} }} + \frac{1}{{2\sqrt t }} > 0$
$\Rightarrow$ f(t) đồng biến trên $(0; + \infty )$
Mặt khác: $(1) \Leftrightarrow f(x - 1) > f(3 - x) \Rightarrow x - 1 > 3 - x \Leftrightarrow x > 2$
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là $2 < x \leqslant 3$

Bài 10.
Giải phương trình ${\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + x + 3}}{{2{x^2} + 4x + 5}}} \right) = {x^2} + 3x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Điều kiện $\left\{ \begin{array}   {x^2} + x + 3 > 0  \\   2{x^2} + 4x + 5 > 0  \\ \end{array}  \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,$(đúng $\forall x$)
$\begin{array}   (1) \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} + x + 3) - {\log _3}(2{x^2} + 4x + 5) = (2{x^2} + 4x + 5) - ({x^2} + x + 3)  \\   \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} + x + 3) + ({x^2} + x + 3) = {\log _3}(2{x^2} + 4x + 5) + (2{x^2} + 4x + 5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)  \\ \end{array}$
Xét $f(t) = {\log _3}t + t \Rightarrow f'(t) = \frac{1}{{t.\ln 3}} > 0,\forall t > 0$
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f({x^2} + x + 3) = f(2{x^2} + 4x + 5) \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}   x =  - 1  \\   x =  - 2  \\ \end{array}  \right.$
Vậy: $S = \left\{ { - 1; - 2} \right\}$