A. CÔNG THỨC Nếu u(x),v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b] thì : b∫au(x)v′(x)dx=[u(x).v(x)]|ba−b∫av(x)u′(x)dx Tổng quát hơn cho nguyên hàm ∫u(x)v′(x)dx=[u(x).v(x)]−∫v(x)u′(x)dx Viết gọn là : b∫audv=(u.v)|ba−b∫avdu và ∫udv=(u.v)−∫vdu
B. CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP Dạng 1. ∫p(x)[sinf(x)cosf(x)tanf(x)ef(x)]dx Đặt u=p(x) và [sinf(x)cosf(x)tanf(x)ef(x)]dx=dv trong đó p(x) thường là đa thức, có thể là phân thức, hàm vô tỷ của x.
Dạng 2. ∫p(x).lnf(x)dx Đặt u=lnf(x) và p(x)dx=dv
Dạng 3. ∫ef(x)[sing(x)cosg(x)]dx Đặt u=ef(x) hoặc u=[sing(x)cosg(x)]
C. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tính I=∫xcosxdx Lời giải : Đặt {u=xdv=cosxdx⇒{du=dxv=sinx. Khi đó ta có : I=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C Trong đó C là hằng số. Ví dụ 2. Tính I=∫x3cosxdx Lời giải : Đặt {u=x3dv=cosxdx⇒{du=3x2dxv=sinx. Khi đó ta có : I=x3sinx−3∫x2sinxdx Đặt {u=x2dv=sinxdx⇒{du=2xdxv=−cosx. Khi đó ta có : I=x3sinx−3[−x2cosx+2∫xcosxdx] Đặt {u=xdv=cosxdx⇒{du=dxv=sinx. Khi đó ta có : I=x3sinx+3x2cosx−6[xsinx−∫sinxdx]=x3sinx+3x2cosx−6(xsinx+cosx)+C. Trong đó C là hằng số.
Ví dụ 3. Tính e∫1x3ln2xdx Lời giải : Đặt {u=ln2xdv=x3dx⇒{du=2lnxxdxv=14x4. Khi đó ta có : I=14x4ln2x|e1−12e∫1x3lnxdx=14e4−12e∫1x3lnxdx Đặt {u=lnxdv=x3dx⇒{du=1xdxv=14x4. Khi đó ta có : I=14e4−12[18x4lnx|e1−18e∫1x3dx] =14e4−[18e4−132x4|e1] =14e4−3e4+132 =5e4−132
Ví dụ 4. Tính 2∫12xlnxdx(x2+1)2 Lời giải : Đặt {u=lnxdv=2xdx(x2+1)2=(x2+1)−1d(x2+1)⇒{du=1xdxv=−1x2+1. Khi đó ta có : I=−lnxx2+1|21+2∫11x(x2+1)dx=−ln25+I1 Trong đó, I1=2∫11x(x2+1)dx=2∫1xx2(x2+1)dx=122∫1d(x2)x2(x2+1) I1=12b∫a(1x2−1x2+1)d(x2)=12lnx2x2+1|21=12ln85. Vậy I=12ln85−ln25.
Ví dụ 5. Tính I=∫e−2xcos3xdx Lời giải : Đặt {u=e−2xdv=cos3xdx⇒{du=−2e−2xv=13sin3x. Khi đó ta có : I=13e−2xsin3x+23∫e−2xsin3xdx Đặt{u=e−2xdv=sin3xdx⇒{du=−2e−2xv=−13cos3x. Khi đó ta có : I=13e−2xsin3x+23[−13e−2xcos3x−23∫e−2xcos3xdx] =19e−2x(3sin3x−2cos3x)−49∫e−2xcos3xdx =19e−2x(3sin3x−2cos3x)−49I ⇒139I=19e−2x(3sin3x−2cos3x) Vậy I=113e−2x(3sin3x−2cos3x)+C Trong đó C là hằng số. . D. CÁC BÀI THI ĐẠI HỌC Ví dụ 6. (Đại học Khối A−2012) Tính I=3∫11+ln(x+1)x2dx Lời giải : Đặt {u=1+ln(x+1)dv=dxx2⇒{du=1x+1dxv=−1x. Khi đó ta có : I=−1+ln(x+1)x|31+3∫11x(x+1)dx=2+ln23+I1 Trong đó, I1=3∫11x(x+1)dx=3∫1(1x−1x+1)dx=ln|xx+1||31=ln3−ln2. Vậy I=23+ln3−23ln2.
Ví dụ 7. (Đại học Khối D−2012) Tính I=π4∫0x(1+sin2x)dx Lời giải : I=π4∫0xdx+π4∫0xsin2xdx=π232+π4∫0xsin2xdx Đặt {u=xdv=sin2xdx⇒{du=dxv=−12cos2x. Khi đó ta có : I=π232+π4∫0xsin2xdx=π232−12xcos2x|π40+12π4∫0cos2xdx =π232+14sin2x|π40 Vậy I=π232+14.
Ví dụ 8. (Đại học Khối B−2011) Tính I=π3∫01+xsinxcos2xdx Lời giải : I=π3∫01cos2xdx+π3∫0xsinxcos2xdx=I1+I2 Trong đó, I1=π3∫01cos2xdx=tanx|π30=√3 và I2=π3∫0xsinxcos2xdx Đặt {u=xdv=sinxcos2xdx⇒{du=dxv=−1cosx. Khi đó ta có : I2=xcosx|π30−π3∫0dxcosx =2π3+π3∫0dsinxsin2x−1 =2π3+12π3∫0(1sinx−1−1sinx+1)dsinx =2π3+12(ln|sinx−1sinx+1|)|π30 =2π3+ln(2−√3). Vậy I=√3+2π3+ln(2−√3).
E. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính I=π2∫0xcos2xdx
Bài 2. Tính I=1∫0x2ex(x+2)2dx
Bài 3. Tính I=1∫0e−2xsin2(πx)dx
Bài 4. Tính I=π2∫π4x2cosxsin3xdx
Bài 5. Tính I=∫cos(lnx)dx
Bài 6. Tính I=π∫0e2xsin2xdx
Bài 7. (Đại học Khối D−2010) Tính I=e∫1(2x−3x)lnxdx
Bài 8. (Đại học Khối B−2009) Tính I=3∫13+lnx(x+1)2dx
|