ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Thí dụ $5$. Tính tích phân
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n x}dx$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.
Lời giải :
Đặt $t=\frac{\pi}{2}-x\Rightarrow dx=-dt$
Khi $x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=0$
Từ đó
$I=-\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{\cos^n \left ( \frac{\pi}{2}-t \right )}{\cos^n  \left ( \frac{\pi}{2}-t \right ) + \sin^n  \left ( \frac{\pi}{2}-t \right )}dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n t}{\sin^n t + \cos^n t}dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x}dx$
Do đó
$2I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n x}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2}$
Vậy $I=\boxed{\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}$.
Lời bình : Do cận lấy tích phân có dạng $a=0; b=\frac{\pi}{2}$, nên các hàm $\sin x$ và $\cos x$ có mối liên hệ của các góc phụ nhau. Trong trường hợp này ta thường dùng phép biến đổi $t=\frac{\pi}{2}-x$.
Thí dụ $6$. Tính tích phân
$I=\int\limits_{0}^{3\pi}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx$
Lời giải :
Ta có
$I=\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx+\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{3\pi}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx       (1)$
Xét tích phân
$J=\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{3\pi}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx$.
Đặt $t=3\pi-x\Rightarrow dx=-dt$
Khi $x=\frac{3\pi}{2}\Rightarrow t=\frac{3\pi}{2}; x=3\pi \Rightarrow t=0$
Từ đó
$J=-\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{0}\sin (3\pi-t).\sin (6\pi-2t). \sin (9\pi-3t)dt$
$=-\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}\sin t.\sin 2t. \sin 3tdt=-\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx       (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $I=\boxed{0}$.
Lời bình . Có thể sử dụng kết quả sau đây để suy ra kết quả thí dụ $6$ : Cho hàm $f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[0;2a]$. Khi đó
$\int\limits_{0}^{2a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{a}\left ( f(x)+f(2a-x) \right )dx$
Hướng dẫn :
$\int\limits_{0}^{2a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{a}f(x)dx+\int\limits_{a}^{2a}f(x)dx$
Đổi biến số $t=2a-x$ trong tích phân thứ hai ở vế phải đẳng thức trên ta được
$\int\limits_{0}^{2a}f(x)dx=\int\limits_{a}^{0}f(2a-t)(-dt)=\int\limits_{0}^{a}f(2a-x)dx,$
từ đó suy ra điều cần chứng minh.

CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tính các tích phân sau
$1.$          $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^6 x dx$;
$2.$          $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5} dx$;
$3.$          $I=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{\sqrt[4]{\displaystyle{\sin^3 x.\cos^5 x}}}dx$;
$4.$          $I=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^3 x+\cos^5 x}{\sin^2 x+ \sin^4 x}dx$;
$5.$          $I=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{\sin^2 x.\cos^4 x}dx$.