I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
1. Phân tích hoặc nhóm các phân thức
Ví dụ 1. Giải phương trình
1x2+5x+4+1x2+11x+28+1x2+17x+70=34x−2.
Lời giải :
Điều kiện : x∉{−10;−7;−4;−1;12}.
Với điều kiện trên thì phương trình (PT) tương đương với
1(x+1)(x+4)+1(x+4)(x+7)+1(x+7)(x+10)=34x−2.
⇔13(1x+1−1x+4)+13(1x+4−1x+7)+13(1x+7−1x+10)=34x−2
⇔13(1x+1−1x+4)=34x−2
⇔x2+7x+12=0⇔[x=−3x=−4
So sánh với các điều kiện ta có PT có nghiệm duy nhất x=−3.
Ví dụ 2. Giải phương trình
x+1x−1+x−2x+2+x−3x+3+x+4x−4=4.
Lời giải :
Điều kiện : x∉{−3;−2;4;1}.
Với điều kiện trên thì phương trình tương đương với
1+2x−1+1−4x+2+1−6x+3+1+8x−4=4
⇔(1x−1+4x−4)−(2x+2+3x+3)=0
⇔5x−8(x−1)(x−4)−5x+12(x+2)(x+3)=0
⇔(5x−8)(x+2)(x+3)−(5x+12)(x−1)(x−4)=0
⇔x2+x−165=0
Kết hợp với điều kiện, PT đã cho có hai nghiệm
x=12(−1−√695) và x=12(−1+√695).
Ví dụ 3. Giải phương trình
12008x+1−12009x+2=12010x+4−12011x+5.
Lời giải :
Điều kiện : x∉{−12008;−22009;−42010;−52011}.
Với điều kiện trên thì phương trình tương đương với
12008x+1+12011x+5=12009x+2+12010x+4
⇔4019x+6(2008x+1)(2011x+5)=4019x+6(2009x+2)(2010x+4)
⇔[4019x+6=0(2008x+1)(2011x+5)=(2009x+2)(2010x+4)
⇔[4019x+6=02x2+5x+3=0
Kết luận : PT đã cho có ba nghiệm
x=−64016;x=−1;x=−32
2. Đưa về phương trình bậc cao giải được
Ví dụ 4. Giải phương trình
2x3x2−5x+2+13x3x2+x+2=6.
Lời giải :
Điều kiện : x∉{1;23}.
Với điều kiện trên thì phương trình (PT) tương đương với
2x(3x2+x+2)+13x(3x2−5x+2)=6(3x2−5x+2)(3x2+x+2)
⇔54x4−117x3+105x2−78x+24=0
⇔(2x−1)(3x−4)(9x2−3x+6)=0
Kết luận : PT đã cho có hai nghiệm x=12;x=34.
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1. Đặt một ẩn phụ
Ví dụ 5. Giải phương trình
x4+3x2+1x3+x2−x=3.
Lời giải :
Điều kiện : x∉{0;−1±√52}.
Chia cả tử số và mẫu số ở vế trái cho x2 rồi rút gọn ta được
x2+1x2+3x−1x+1=3.
Đặt t=x−1x. PT trên trở thành
t2+5t+1=3⇔t2−3t+2=0⇔[t=1t=2
* Với t=1 ta có
x−1x=1⇔x2−x−1=0⇔x=1±√52.
* Với t=2 ta có
x−1x=2⇔x2−2x−1=0⇔x=1±√2.
Kết luận : PT đã cho có bốn nghiệm là x=1±√52;x=1±√2.
Ví dụ 6. Giải phương trình
1x2+1(x+1)2=15.
Lời giải :
Điều kiện : x∉{0;−1}.
PT ⇔x2+(x+1)2x2(x+1)2=15⇔(1x(x+1))2+2x(x+1)=15
Đặt t=1x(x+1). PT trên trở thành
t2+2t−15=0⇔[t=3t=−5
* Với t=3, suy ra 3x2+3x−1=0⇔x=−3±√216.
* Với t=−5, suy ra 5x2+5x+1=0⇔x=−5±√510.
Kết luận : PT đã cho có bốn nghiệm là x=−3±√216;x=−5±√510.
2. Đặt hai ẩn phụ
Ví dụ 7. Giải phương trình
(x+1x−2)2+x+1x−3=12(x−2x−3)2.
Lời giải :
Điều kiện : x∉{2;3}.
Đặt u=x+1x−2,v=x−2x−3. PT trên trở thành
u2+uv=12v2⇔(u−3v)(u+4v)=0⇔[u=3vu=−4v
* Với u=3v ta có
x+1x−2=3.x−2x−3⇔2x2−16x+9=0⇔x=8±√462.
* Với u=−4v ta có
x+1x−2=−4.x−2x−3⇔5x2−12x+19=. PT này vô nghiệm.
Kết luận : PT đã cho có hai nghiệm là x=8±√462.
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Ví dụ 8. Giải phương trình
3x2+x+3−4x2+3x+9=12x2.
Lời giải :
Điều kiện : x≠0.
PT đã cho tương đương với
4x2+3x+9+12x2=3x2+x+3(∗)
Áp dụng bất đẳng thức a2x+b2y≥(a+b)2x+y∀x,y>0,
đẳng thức xảy ra ⇔ax=by, ta có
4x2+3x+9+12x2≥(2+1)23x2+3x+9=3x2+x+3
Do đó (∗)⇔x2+3x+9=4x2⇔x2−x−3=0.
Kết luận : PT đã cho có hai nghiệm là x=1±√132.
IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình sau
Bài 1. 14x−2006+15x+2004=15x−2007−16x−2005
Bài 2. x2(x+2)2=3x2−6x−3
Bài 3. x2+25x2(x+5)2=11
Bài 4. 1x2+9x+20+1x2+11x+30+1x2+13x+42=118
|