A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Với c là hằng số, ta có :
limc=c,lim1n=0. Tổng quát limcnk=0(k≥1).
2. Với q là số thực thỏa mãn |q|<1 thì limqn=0.
3. Các phép toán trên các dãy có giới hạn hữu hạn (xem định lý 1, SGK).
4. Phép toán trên dãy số có giới hạn vô cực (limun=±∞).
limun=alimvn=+∞}⇒limunvn=0
limun=alimvn=0vn>0∀n≥0}⇒limunvn=(dấu của a)×∞.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Giới hạn dãy số un=f(n)g(n), trong đó f(n),g(n) là các đa thức ẩn số n.
Cách giải : Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của n có số mũ cao nhất trong dãy un, sau đó dùng các kết quả nêu trên để tính.
Ví dụ 1.
Tính L1=lim3n3−7n+14n3−3n2+2
Lời giải :
Khi n→∞ thì n≠0 nên chia cả tử và mẫu của lim3n3−7n+14n3−3n2+2 cho n3 ta được:
L1=lim3n3n3−7nn3+1n34n3n3−3n2n3+2n3=lim3−7n2+1n34−3n+2n3=3+0+04+0+0=34
Ghi chú : lim7n2=lim1n3=lim3n=lim2n3=0
Ví dụ 2.
Tính L2=lim3n7−8n6+35n8+n3+2n
Lời giải :
Khi n→∞ thì n≠0 nên chia cả tử và mẫu của lim3n7−8n6+35n8+n3+2n cho n8, là số mũ cao nhất của n có trong giới hạn trên, ta được:
L2=lim3n7n8−8n6n8+3n85n8n8+n3n8+2nn8=lim3n−8n2+3n85+1n5+2n7=0+0+05+0+0=0
Bài tập áp dụng :
Tính
L3=lim4n8+12n−1n2+5n6−6n8
L4=lim−3n5+2n+4n2+4n+3
Hướng dẫn:
Đáp số : L3=−23.
L4=−∞.
Dạng 2. Giới hạn dãy số un=f(n)g(n), trong đó f(n),g(n) là các biểu thức chứa căn.
Cách giải :
Chia (các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa của n có số mũ cao
nhất trong dãy un, sau đó dùng các kết quả nêu trên để tính.
Quy ước :
Biểu thức √akxk+ax−1xk−1+⋯+a1x+a0 có bậc k2.
Biểu thức 3√akxk+ax−1xk−1+⋯+a1x+a0 có bậc k3.
Ví dụ 1.
Tính L1=limn+√n2+2n+33−√2n2+1
Lời giải :
Nhận xét :
√n2+2n+3 có bậc 22=1; n có bậc 1 nên bậc cao nhất của n trong n+√n2+2n+3 là 1.
√2n2+1 có bậc 22=1; nên bậc cao nhất của n trong 3−√2n2+1 là 1.
Vậy ta chia cả tử và mẫu cho n1=n=√n2 để tính.
Ta có :
L1=limnn−√n2+2n+3n3n−√2n2+1n=lim1+√n2+2n+3n23n+√2n2+1n2=lim1+√1+2n+3n23n+√2+1n2=1+√1+0+00−√2+0=−√2
Ví dụ 2.
Tính L2=lim2n+√n3+3n+21+n√3n+4
Lời giải :
Nhận xét :
√n3+3n+2 có bậc 32=1,5; 2n có bậc 1 nên bậc cao nhất của n trong 2n+√n3+3n+2 là 1,5.
n√3n+4=√3n3+4n2 có bậc 32=1; nên bậc cao nhất của n trong 1+n√3n+4 là 1,5.
Vậy ta chia cả tử và mẫu cho √n3 để tính.
Ta có :
L2=lim2n√n3+√n3+3n+2√n31√n3+n√3n+4√n3=lim2√n2n3+√n3+3n+2n3√1n3+√3n3+4n2n3=lim2√1n+√1+3n2+2n3√1n3+√3+4n=2.√0+√1+0+0√0+√3+0=1√3
Bài tập áp dụng :
Tính
L3=limn√n2+n+13n2−2n+12
L4=lim3√−3n7+2n+1n2+3n+7
Hướng dẫn:
Đáp số : L3=0.
L4=−∞.
Dạng 3. Giới hạn dãy số un=√f(n)±√g(n), trong đó f(n),g(n) là các đa thức ẩn số n.
Cách giải :
Sử dụng các phép biến đổi liên hợp như sau :
√f(n)−√g(n)=f(n)−g(n)√f(n)+√g(n)
√f(n)+√g(n)=f(n)−g(n)√f(n)−√g(n)
Khi đó ta đưa được về dạng 2.
Ví dụ 1.
Tính L1=lim(√n2+n+3−n)
Lời giải :
L1=lim(√n2+n+3−n)=lim(n2+n+3)−n2√n2+n+3+n=limn+3√n2+n+3+n=lim1+3n√1+1n+3n2+1=12
Ví dụ 2.
Tính L2=lim(√3n2+2n+1+n√3)
Lời giải :
L2=lim(√3n2+2n+1+n√3)=lim(3n2+2n+1)−3n2√3n2+2n+1−n√3=lim2n+1√3n2+2n+1−n√3=lim2+1n√3+2n+1n2−√3
Vì lim(2+1n)=2 và lim(√3+2n+1n2−√3)=0+
Suy ra L2=+∞
Bài tập áp dụng
Tính
L3=lim(√4n2+n+2−2n)
L4=lim(√n2+n+7+n)
Hướng dẫn:
Đáp số : L3=14.
L4=+∞.
Dạng 4. Giới hạn dãy số có chứa số mũ là n.
Cách giải :
Chúng ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất và sử dụng giới hạn cơ bản
limqn=0 nếu |q|<1.
Ví dụ 1.
Tính L1=lim2n+4.3n5−7.3n
Lời giải :
Nhận xét rằng trong các lũy thừa 2n,3n thì 3n có cơ số bằng 3 là cơ số lớn nhất.
Vì thế,
L1=lim2n+4.3n5−7.3n=lim2n3n+4.3n3n5.1n3n−7.3n3n=lim(23)n+4(5.13)n−7=−47
Chú ý rằng vì |23|<1;|13|<1 nên lim(23)n=lim(13)n=0
Ví dụ 2.
Tính L2=lim3.2n+44.3n−5.4n
Lời giải :
Nhận xét rằng trong các lũy thừa 2n,3n,4n thì 4n có cơ số bằng 4 là cơ số lớn nhất.
Vì thế,
L2=lim3.2n+44.3n−5.4n=lim3.2n4n+4.1n4n4.3n4n−5.4n4n=lim(3.12)n+4.(14)n4.(34)n−5=3.0+4.04.0−5=0
Chú ý rằng vì |12|<1;|34|<1 nên lim(12)n=lim(34)n=lim(14)n=0
Bài tập áp dụng
Tính
L3=lim2+5n4n−6.5n
L4=lim3.2n−5.7n4n+3.5n
Hướng dẫn:
Đáp số : L3=−16.
L4=−∞.
|