Bài toán 1: Tìm m để phương trình (PT) sau có nghiệm duy nhất: √x+√2−x=m(1)
Lời giải
• Điều kiện cần. Trong PT (1) vai trò của x và 2 – x là như nhau. Vì vậy nếu PT (1) có nghiệm là x_0 thì 2 – x_0 cũng là nghiệm của nó. Giả sử PT (1) có nghiệm duy nhất là x_0 thì x_0 = 2 - x_0 \Leftrightarrow x_0 = 1. Thay vào (1) ta được m=2.
• Điều kiện đủ. Ta xét m = 2 thì PT(1) có dạng \sqrt{x}+\sqrt{2-x}=2 (2)
Cách 1. Điều kiện 0 \le x \le 2 (*)
Bình phương hai vế của PT(2) rồi rút gọn được
\sqrt{x(2-x)}=1\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Leftrightarrow x=1 (thỏa mãn (*)).
Cách 2. Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
\left (\sqrt{x}+\sqrt{2-x} \right )^2 \le 2(x+2-x)=4\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{2-x} \le 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2 – x \Leftrightarrow x = 1. Suy ra PT(2) có nghiệm duy nhất x=1.
Kết luận. Vậy với m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=1.
Bài toán 2. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
\begin{cases}a(x^2+1)+|x|=y \\x^2+ y^2=1 \end{cases} (I)
Lời giải
• Điều kiện cần. Giả sử hệ (I) có nghiệm duy nhất (x_0; y_0). Do (x_0; y_0) là nghiệm của hệ (I) nên suy ra ( - x_0, y_0) cũng là nghiệm của hệ (I). Từ tính duy nhất nghiệm suy ra x_0 = - x_0 \Leftrightarrow x_0 = 0
Thay vào hệ (I), ta được \begin{cases}a=y \\ y^2=1 \end{cases}
Suy ra a=-1 hoặc a=1.
• Điều kiện đủ.
a) Nếu a=-1 thì hệ (I) có dạng
\begin{cases}|x|=x^2+1+y \\x^2+ y^2=1 \end{cases} (II)
\Leftrightarrow
\begin{cases}|x|=x^2+1+y \\x^2+ (|x|-x^2-1)^2=1 \end{cases}
Xét PT
x^2+ (|x|-x^2-1)^2=1 \Leftrightarrow |x|.f(x)=0, trong đó f(x)=x^2|x|+4x^2-2|x|-2
Ta thấy f(0)=-2, f(1)=1 \implies f(0).f(1) <0 \implies f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1)
Do đó hệ (II) có ít nhất hai nghiệm nên a=-1 không là giá trị cần tìm.
b) Nếu a=1 thì hệ (I) có dạng
\begin{cases}|x|+x^2=y-1 \\x^2+ y^2=1 \end{cases} (III)
Từ y – 1 = |x| + x^2 suy ra y \ge 1, từ x^2+ y^2=1 suy ra y \le 1 . Vậy ta có y=1.
Thay y = 1 vào hệ (III) ta được \begin{cases}|x|+x^2=0 \\x^2=0 \end{cases}
Vậy (x; y) = ( 0;1) là nghiệm duy nhất của hệ (III).
Kết luận. Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a=1.
Bài toán 3. Tìm sao a cho với mọi giá trị của b hệ phương trình sau có nghiệm :
\begin{cases}(a-1)x^5+y^5=1 \\ 1+(a+1)bxy^4=a^2 \end{cases} (IV)
Lời giải
• Điều kiện cần.
Giả sử hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của b suy ra với b = 0 hệ (IV) cũng có nghiệm :
\begin{cases}(a-1)x^5+y^5=1 \\ 1=a^2 \end{cases}
Suy ra a=-1 hoặc a=1.
• Điều kiện đủ. .
a) Với a=1 thì hệ (IV) có dạng \begin{cases}y^5=1 \\ bx=0 \end{cases}
Hệ này ít nhất có (x ;y) = (0 ;1) là nghiệm với mọi giá trị của b.
Suy ra hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của b.
a) Với a=-1 thì hệ (IV) có dạng \begin{cases}-2x^5+y^5=1 \\1=1 \end{cases}
Hệ này ít nhất có (x ;y) = (0 ;1) là nghiệm với mọi giá trị của b.
Suy ra hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của b.
Kết luận. Với a=-1 hoặc a=1 thì hệ (IV) có nghiệm với mọi giá trị của b.
Bài toán 4. Tìm m để hai phương trình sau tương đương
\begin{cases}x^2+(m^2-5m+6)x=0 (3)\\ x^2+2(m-3)x+m^2-7m+12=0 (4) \end{cases}
Lời giải
Điều kiện cần. gỉa sử PT(3) và PT(4) tương đương với nhau. Vì phương trình (3) luôn có nghiệm x = 0 nên PT(4) cũng phải có nghiệm x = 0. Vì vậy, ta phải có m^2 – 7m + 12 = 0 \Leftrightarrow m = 3 hoặc m = 4.
Điều kiện đủ.
a) Nếu m = 3 thì PT (3) và (4) đều có dạng x^2 = 0 suy ra với m = 3 thì PT(3) tương đương PT(4)
b) Nếu m = 4 thì PT(3) và PT(4) đều có dạng x^2 + 2x = 0. Suy ra với m = 4 thì PT(3) tương đương với PT(4).
Kết luận. PT (3) tương đương với PT(4) khi và chỉ khi m = 3 hoặc m = 4.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm a để các phương trình và hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
a) \sqrt{x--5}+\sqrt{9-x}=a
b) \sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{(3+x)(6-x)}=a
c) \begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}=a \\x+y=3a \end{cases}
Bài 2. Tìm a để với mọi giá trị của b hệ phương trình sau có nghiệm
\begin{cases}a(x^2+y^2)+x+y=b \\ y-x=b \end{cases}
Bài 3. Tìm m để hai phương trình sau tương đương
\begin{cases}(1+m^2)x^2-2(m^2-1)x+m^2-3=0 \\ x^2+(m-1)x+m^2-7m+1=0 \end{cases}
|