1. Tam thức bậc hai
ĐỊNH NGHĨA
Tam thức bậc hai ( đối với x) là biểu thức dạng a2x+bx+c, trong đó a,b,c là những số cho trước với a≠0
Nghiệm của phương trình a2x+bx+c=0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f(x)=a2x+bx+c
Các biểu thức Δ=b2−4ac và Δ′=b′2−ac với b=2b′ theo thứ tự cũng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x)=a2x+bx+c
2. Dấu của tam thức bậc hai
Ta sẽ quan sát đồ thị của hàm số bậc hai để suy ra định lý về dấu của tam thức bậc hai f(x)=a2x+bx+c
Dấu của f(x) phụ thuộc vào dấu của biểu thức Δ và hệ số a.
ĐỊNH LÝ (về dấu của tam thức bậc hai)
Cho tam thức bậc hai f(x)=a2x+bx+c(a≠0)
Nếu Δ<0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x∈R.
Nếu Δ=0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x≠−b2a.
Nếu Δ>0 thì f(x) có hai nghiệm x1&x2(x1<x2).Khi đó, f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (x1;x2), và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn [x1;x2]
CHÚ Ý
Cũng như khi giải phương trình bậc hai, khi xét dấu tam thức bậc hai, ta có thể dùng biểu thức thu gọn Δ′thay cho Δ và cũng được các kết quả tương tự.
Ví dụ 1: f(x)=2x2−x+1>0với mọi x∈R vì tam thức f(x) cóΔ=−7<0 và a = 2 > 0
NHẬN XÉT
Từ định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy chỉ có một trường hợp duy nhất trong đó dấu của tam thức không thay đổi ( luôn âm hoặc luôn dương), đó là khi Δ<0. Lúc đó, dấu của tam thức trùng với dấu của hệ số a. Do đó, ta có
∀x∈R,ax2+bx+c>0⇔{a>0Δ<0∀x∈R,ax2+bx+c<0⇔{a<0Δ<0
|