|
|
1,Công thức nhị thức Niu-tơn (gọi tắt là nhị thức Niu-tơn)
(a+b)n=C0nan+C1nan−1b+...+Cknan−kbk+...+Cnnbn
=n∑k=0Cknan−kbk (Quy ước a0=b0=1)
Ví dụ 1: Tính hệ số của x12y13 trong khai triển (x+y)25
Giải: Theo công thức nhị thức Niu-tơn, hệ số này là C1325=25!13!.12!=5200300
Ví dụ 2: Tìm hệ số của x3 trong khai triển (3x−4)5
Giải: Ta có (3x−4)5=(3x+(−4))5. Theo công thức nhị thức Niu-tơn, số hạng chứa x3 là C25(3x)3.(−4)2. Vậy hệ số của x3 là 10.33.(−4)2=4320
2, Tam giác Pa-xcan
Trên đây ta muốn khai triển (a+b)n thành đa thức, ta cần biết n+1 số C0n,C1n,C1n,...,Cn−1n,Cnn có mặt trong công thức nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính được nhờ sử dụng bảng số sau đây
..........................................................................
Tam giác Pa-xcan được lập theo quy luật sau:
• Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi số 1.
• Nếu biết hàng thứ n(n⩾ thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.
Chẳng hạn, khi có hàng thứ năm ta thiết lập hàng thứ sáu như sau: Theo thứ tự từ trái sang phải, ta lấy 1 + 5 = 6 và viết số 6 xuống hàng dưới ở vị trí giữa số 1 và số 5; lấy 5+10=15 và viết số 15 xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số 5 và số 10… (Xem hình vẽ)
Nhận xét:
Xét hàng thứ nhất, ta có
1 = C_1^0, 1 = C_1^1
Ở hàng thứ hai, ta có
1 = C_2^0, 2 = C_2^1 1 = C_2^2
Ở hàng thứ ba, ta có
1 = C_3^0 3 = C_3^1 3 = C_3^2 1 = C_3^3
Một cách tổng quát, từ tính chất thứ 2 của số …(Hằng đẳng thức Pa-xcan) và một cách thiết lập tam giác Pa-xcan, ta có
Các số ở hàng thứ ntrong tam giác Pa-xcan là dãy gồm n + 1 số
C_n^0,C_n^1,C_n^2,...,C_n^{n - 1},C_n^n
|