1. Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0;b)(x0∈R). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi x tiến dần đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số (xn) trong khoảng (x0;b) mà lim, ta đều có \operatorname{l} {\text{im}}\,f\left( {{x_n}} \right) = L. Khi đó ta viết \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L hoặcf\left( x \right) \to L\,khi\,x \to x_0^ + .
Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng \left( {a;{x_0}} \right)\left( {{x_0} \in \mathbb{R}} \right). Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x tiến dần đến {x_0}(hoặc tại điểm {x_0}) nếu với mọi dãy số \left( {{x_n}} \right) trong khoảng \left( {a;{x_0}} \right) mà \lim {x_n} = {x_0}, ta đều có \operatorname{l} {\text{im}}\,f\left( {{x_n}} \right) = L. Khi đó ta viết \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L hoặc f\left( x \right) \to L\,khi\,x \to x_0^ - .
Nhận xét:
1) Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\, = \,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ - } f\left( x \right) = L
2) Ta thừa nhận điều khoản ngược lại cũng đúng, nghĩa là:
Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L thì hàm số fcó giới hạn tại điểm {x_0} và \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L
3) Các định lí 1 và 2 trong bài 4 vẫn đúng khi thay x \to {x_0} bởi x \to x_0^ - hoặc x \to x_0^ + .
2. Giới hạn vô cực
1) Các định nghĩa \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty
được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.
2) Nhận xét 1 và nhận xét 2 trên vẫn đúng với giới hạn vô cực.
|