|
|
Định lí và các quy tắc này được áp dụng cho mọi trường hợp : x→x0,x→x0+,x→x0−,x→+∞,x→−∞
ĐỊNH LÍ: Nếu lim thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{f\left( x \right)}} = 0
Quy tắc 1: Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \pm \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = L \ne 0 thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] được cho trong bảng sau:
Ví dụ 1: Tìm \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 3x - 5} \right)
Ta có: 2{x^3} - {x^2} + 3x - 5 = {x^3}\left( {2 - \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}} - \frac{5}{{{x^3}}}} \right) với mọi x \ne 0
Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty và \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}} - \frac{5}{{{x^3}}}} \right) = 2 > 0 nên \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2{x^3} - {x^2} + 3x - 5} \right) = - \infty
Quy tắc 2: Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \ne 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = 0 và và g\left( x \right) > 0 hoặc g\left( x \right) < 0 với mọi x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}, trong đó J là một khoảng nào đó chứa {x_0}thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} được cho trong bảng sau:
Ví dụ: Tìm \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {1 - {x^2}} = 0 = f\left( { - 1} \right)\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}
Giải: Ta có \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} (2x + 1) = - 3 < 0,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {(x + 2)^2} = 0;\,\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} > 0 với mọi x \ne - 2. Do đó
\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = - \infty
|