1. Hàm số liên tục tại một điểm
ĐN: Giả sử hàm số $f$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Hàm số $f$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm ${x_0}$
Ví dụ 1:
a) Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \mathbb{R}$ vì : $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = {x_0}^2 = f\left( {{x_0}} \right)$
b) Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\frac{1}{x}\,\,\,(x \ne 0) \\
0\,\,\,\,(x = 0) \\
\end{gathered} \right.$
gián đoạn tại điểm $x = 0$ vì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$ (h.4.10)
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
ĐN: a) Giả sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp J, trong đó J là một khoảng hoặc tập hợp của nhiều khoảng. Ta nói rằng hàm số $f$ liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập hợp đó.
b) Hàm số $f$xác định trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f\left( a \right),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f\left( b \right).$
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} $ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$
Giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.
Vì với mọi ${x_0} \in \left( { - 1;1} \right)$ ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt {1 - {x_0}^2} = f\left( {{x_0}} \right)$
Nên hàm số $f$ liên tục trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$. Ngoài ra, ta có
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sqrt {1 - {x^2}} = 0 = f\left( { - 1} \right)$
Và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {1 - {x^2}} = 0 = f\left( 1 \right)$
Do đó, hàm số liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]\left( {h4.14} \right)$
Nhận xét:
1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (Trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng).
Định lí 1: Các hàm số lượng giác $y = \operatorname{s} {\text{inx}},\,y = \cos x,\,y = \tan x,\,y = \cot x$ liên tục trên tập xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
Định lí 2: (Định lí giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Nếu $f\left( a \right) \ne f\left( b \right)$ thì với mỗi số thực M nằm giữa $f\left( a \right)$ và $f\left( b \right)$, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = M$.
* Ý nghĩa hình học của định lí: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và M là một số thực nằm giữa $f\left( a \right)$và $f\left( b \right)$ thì đường thẳng $y = M$ cắt đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)\,\left( {h.4.15} \right).$
* Hệ quả: Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$.
* Ý nghĩa hình học của hệ quả
Nếu hàm số $f$liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và $f\left( a \right)f\left( b \right) < 0$ thì đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ $c \in \left( {a;b} \right)$ (h.4.16)
Ví dụ 4: Cho hàm số $P\left( x \right) = {x^3} + x - 1$
Áp dụng hệ quả, chứng minh rằng phương trình $P\left( x \right) = 0$ có it nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Giải: Hàm số P liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],\,P\left( 0 \right) = - 1,\,\,P\left( 1 \right) = 1$.
Vì $P\left( 0 \right)P\left( 1 \right) < 0$ nên theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm $c \in \left( {0;1} \right)$ sao cho $P\left( c \right) = 0.$
$x = c$ chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình $P\left( x \right) = 0$.
|