1. Ví dụ mở đầu
Nhiều vấn đề của toán học, vật lý, hóa sinh… dẫn đến bài toán tìm giới hạn
lim trong đó y = f\left( x \right) là hàm số nào đó. Trong toán học gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm số y = f\left( x \right) tại điểm {x_0}.
2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm
Cho hàm số y = f\left( x \right)xác định trên khoảng \left( {a;b} \right) và điểm {x_0} thuộc khoảng đó.
ĐN: Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} khi x dần đến {x_0} được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm {x_0}, kí hiệu f'\left( {{x_0}} \right) hoặc y'\left( {{x_0}} \right), nghĩa là
f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}
Trong định nghĩa trên, nếu đặt \Delta x = x - {x_0},\,\,\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) thì ta có
f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}
Chú ý: 1) Số \Delta x = x - {x_0} được gọi là số gia của biến số tại điểm {x_0}; số \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia \Delta x tại điểm {x_0}.
2) Số \Delta x không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
3) \Delta xvà \Delta y là những kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: \Delta xlà tích của \Delta với x, \Delta y là tích của \Delta với y.
b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa
Muốn tính đạo hàm của hàm số ftại điểm {x_0} theo định nghĩa, ta thực hiện hai bước sau:
Bước 1: Tính \Delta y theo công thức \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right), trong đó \Delta x là số gia đối số của biến số tại {x_0}.
Bước 2: Tìm giới hạn \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = {x^2} tại điểm {x_0} = 2.
Giải: Đặt f\left( x \right) = {x^2}, ta thực hiện quy tắc trên như sau:
Tính \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( {2 + \Delta x} \right)^2} - {2^2} = \Delta x\left( {4 + \Delta x} \right)=
Tìm giới hạn: \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {4 + \Delta x} \right) = 4\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,f'\left( 2 \right) = 4
Nhận xét:
Nếu hàm số y = f\left( x \right)có đạo hàm tại điểm {x_0} thì nó liên tục tại điểm {x_0}.
3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số y = f\left( x \right) tại điểm {x_0} là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm {M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right).
Nếu hàm số y = f\left( x \right) có đạo hàm tại điểm {x_0} thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm {M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) có phương trình là : y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = {x^3} tại điểm có hoành độ {x_0} = - 1.
Giải: Trước hết ta tính đạo hàm của hàm số f\left( x \right) = {x^3} tại {x_0} = - 1
Tính \Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {\left( { - 1 + \Delta x} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^3} = \Delta x\left( {3 - 3\Delta x + \Delta {x^2}} \right)
Tính giới hạn:
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3 - 3\Delta x + \Delta {x^2}} \right) = 3
Vậy f'\left( { - 1} \right) = 3. Ngoài ra ta có f\left( {{x_0}} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} = - 1 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là
y = 3\left( {x + 1} \right) - 1\,\, \Rightarrow \,\,\,y = 3x + 2
4. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm
Vận tốc tức thời v\left( {{t_0}} \right) tại thời điểm {t_0}( hay vận tốc tại {t_0}) của một chuyển động có phương trình s = s\left( t \right) bằng đạo hàm của hàm số s = s\left( t \right) tại điểm {t_0}, tức là
v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)
5. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
a) Khái niệm
Cho hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là một khoảng hoặc là hợp của những khoảng nào đó. Ta có định nghĩa sau đây:
Định nghĩa:
1) Hàm số fgọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f'\left( x \right) tại mọi điểm x thuộc J.
2) Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f' xác định trên bởi f':\mathop {J \to \mathbb{R}}\limits_{x \to f'\left( x \right)} gọi là đạo hàm của hàm số f. Đạo hàm của hàm số y = f\left( x \right) cũng được kí hiệu bởi y’.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = {x^3} trên khoảng \left( { - \infty ; + \infty } \right)
Giải: Với mọi x thuộc khoảng \left( { - \infty ; + \infty } \right) ta có;
\begin{gathered} \Delta y = {\left( {x + \Delta x} \right)^3} - {x^3} = \Delta x\left( {3{x^2} + 3x.\Delta x + \Delta {x^2}} \right); \\ \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3{x^2} + 3x.\Delta x + \Delta {x^2}} \right) = 3{x^2} \\ \end{gathered}
Vậy hàm số y = {x^3} có đạo hàm trên khoảng \left( { - \infty ; + \infty } \right) và y' = 3{x^2}
b) Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Định lí:
a) Hàm số hằng y = c có đạo hàm trên \mathbb{R} và y' = 0;
b) Hàm số y = x có đạo hàm trên \mathbb{R} và y' = 1;
c) Hàm số y = {x^{n\,}}\left( {n \in \mathbb{N},n \geqslant 2} \right) có đạo hàm trên \mathbb{R}và y' = n{x^{n - 1}} ;
d) Hàm số y = \sqrt x có đạo hàm trên khoảng \left( {0; + \infty } \right) và y' = \frac{1}{{2\sqrt x }} .
Chú ý: Hàm số y = \left| x \right| xác định tại x = 0, tuy nhiên người ta chứng minh được rằng nó không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = \sqrt x tại điểm x = 9
Giải: với y = \sqrt x , ta có y' = \frac{1}{{2\sqrt x }} (Với mọi x \in \left( {0; + \infty } \right)). Do đó y'\left( 9 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}
|