1. Phương pháp đổi biến số
ĐỊNH LÍ
Cho hàm số u=u(x)có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y=f(u)liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là
∫f(u)du=F(u)+C thì:
∫f[u(x)]u′(x)dx=F[u(x)]+C (1)
CHÚ Ý
Trong thực hành, ta thường viết tắt F[u(x)] là F(u),f[u(x)] là f(u) và coi du là vi phân của hàm sốu=u(x)( nghĩa là du=du(x)=u′(x)dx)
Khi đó, công thức(1) được viết như sau
∫f[u(x)]u′(x)dx=∫f[u(x)]du(x)=∫f(u)du=F(u)+C=F[u(x)]+C (2)
Ví dụ. Tìm ∫(2x+1)4dx.
Giải: Ta có (2x+1)4dx=12(2x+1)4(2x+1)′dx=12(2x+1)4d(2x+1)
Đặtu=u(x)=2x+1. Áp dụng công thức (2), ta có
∫(2x+1)4dx=∫12(2x+1)4d(2x+1)=∫12u4du=12∫u4du.=12.15u5+C=110(2x+1)5+C
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
ĐỊNH LÍ 2
Nếu u,v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx
Công thức trên gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần (gọi tắt là công thức nguyên hàm từng phần) và được viết gọn dưới dạng
∫udv=uv−∫vdu
Ví dụ .Tìm ∫xcosxdx
Giải
Đặtu(x)=x, v′(x)=cosx Khi đó u′(x)=1,v(x)=sinx (chỉ cần lấy một nguyên hàm của v’). Theo công thức nguyên hàm từng phân , ta có
∫xcosxdx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C
|