|
|
1. Định nghĩa tích của một vectơ với một số
ĐỊNH NGHĨA
Tích của vectơ →a với số thực k là một vectơ, kí hiệu là k→a được xác định như sau
1) Nếu k⩾ thì vectơ k\overrightarrow a cùng hướng với vectơ \overrightarrow a
Nếu k < 0 thì vectơ k\overrightarrow a ngược hướng với vectơ \overrightarrow a
2) Độ dài của vectơ k\overrightarrow a bằng \left| k \right|.\,\left| {\overrightarrow a } \right|
Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ)
Nhận xét:
Từ định nghĩa ta thấy ngay 1\overrightarrow a = \overrightarrow a ,\,\,( - 1)\overrightarrow a là vectơ đối của \overrightarrow a , tức là ( - 1)\overrightarrow a = - \overrightarrow a
Vi dụ : Ta có tam giác ABC với M và N lần lượt là trung điểm hai cạnh AB và AC. Khi đó ta có:
a) \overrightarrow {BC} \, = 2\,\overrightarrow {MN} ;\,\,\,\overrightarrow {MN} \, = \frac{1}{2}\,\overrightarrow {BC}
b)\overrightarrow {BC} \, = \left( { - 2} \right)\,\overrightarrow {NM} ;\,\,\,\overrightarrow {MN} \, = \left( { - \frac{1}{2}} \right)\,\overrightarrow {CB}
c)\overrightarrow {AB} \, = 2\,\overrightarrow {MB} ;\,\,\,\overrightarrow {AN} \, = \left( { - \frac{1}{2}} \right)\,\overrightarrow {CA}
2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số
Với hai vectơ bất kì \overrightarrow a , \overrightarrow b và mọi số thực k, l ta có
1) k\left( {l\overrightarrow a } \right) = \left( {kl} \right)\overrightarrow a
2) \left( {k + l} \right)\overrightarrow a = k\overrightarrow a + l\overrightarrow a
3) k\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ;\,\,k\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b
4) k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc \overrightarrow a = 0
CHÚ Ý:
1) Do tính chất 1 ,ta có \left( { - k} \right)\overrightarrow a = \left( { - 1} \right)\left( {k\overrightarrow a } \right) = - \left( {k\overrightarrow a } \right). Bởi vậy cả hai vectơ \left( { - k} \right)\overrightarrow a và - \left( {k\overrightarrow a } \right)đều có thể viết đơn giản là - k\overrightarrow a
2) Vectơ \frac{m}{n}\overrightarrow a có thể viết là \frac{{m\overrightarrow a }}{n}. Chẳng hạn \frac{1}{3}\overrightarrow a có thể viết là \frac{{\overrightarrow a }}{3}
Bài toán 1:
Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm M bất kỳ, ta có \overrightarrow {MA} \, + \overrightarrow {MB} \, = 2\,\overrightarrow {MI}
Giải:
Với điểm M bất kì, ta có:
\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MI} \, + \overrightarrow {IA}
\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MI} \, + \overrightarrow {IB}
Như vậy
\overrightarrow {MA} \, + \overrightarrow {MB} \, = 2\,\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB}
Ta biết rằng I là trung điểm của AB khi và chỉ khi \overrightarrow {IA} \, + \overrightarrow {IB} \, = \overrightarrow 0 . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Vectơ \overrightarrow b cùng phương với vectơ \overrightarrow a (\overrightarrow a \ne 0) khi và chỉ khi có số k sao cho \overrightarrow b = k\overrightarrow a
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B ,C thẳng hàng là có số k sao cho \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .
4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
Định lí
Cho hai vectơ không cùng phương \overrightarrow a và \overrightarrow b . khi đó mọi vectơ \overrightarrow x đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho \overrightarrow x = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b .
|