|
|
1.Phương trình tổng quát của đường thẳng
ĐỊNH NGHĨA:
- Vecto pháp tuyến của đường thẳng: Vectơ khác →0 , có giá vuông góc với đường thẳng Δ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ
- Trong mặt phẳng toạ độ , mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng
ax+by+c=0, với a2+b2≠0
Ngược lại, ta có thể chứng minh được rằng: Mỗi phương trình dạng
ax+by+c=0, với a2+b2≠0
Đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận →n=(a;b) là vectơ pháp tuyến
Ví dụ : Cho tam giác có ba đỉnh A=(-1 ;-1) , B=(-1;3) , C=(2;-4) viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A
GIẢI :
Đường cao cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận →BC là một vectơ pháp tuyến. ta có →BC=(3;−7) và A=(-1 ;-1) nên theo (1) , phương trình tổng quát của đường cao đó là 3(x +1) – 7(y + 1)=0 hay 3x – 7y – 4 = 0.
CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT
GHI NHỚ 1
Đường thẳng by+c=0 song song hoặc trùng với trục Ox (hình 67a trang77)
Đường thẳng ax+c=0 song song hoặc trùng với trục Oy (hình67b trang77)
Đường thẳng ax+by=0 đi qua gốc toạ độ (hình 67c trang 77)
GHI NHỚ 2:
Đường thẳng có phương trình xa+yb=1(a≠0,b≠0) (2)
đi qua hai điểm A(a;0)&B(0;b) phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
CHÚ Ý:
Xét đường thẳng Δ có phương trình tổng quát ax+by+c=0
Nếu b≠0 thì phương trình trên đưa được về dạng
y=kx+m (3)
với k=−ab,m=−cb. Khi đó k là hệ số góc của đường thẳng và (3) gọi là phương trình của Δ theo hệ số góc.
Ý nghĩa hình học của hệ số góc
Xét đường thẳng Δ:y=kx+m
Vớik≠0, gọi M là giao điểm của Δ với trục Ox và Mt là tia của Δ nằm phía trên Ox. Khi đó, nếu α là góc hợp bởi hai tia Mt và Mx thì hệ số góc của đường thẳng Δ bằng tang của góc α, tức là k=tanα.
Khi k = 0 thì Δ là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox
2. VỊ TRI TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng toạ đô , cho hai đường thẳngΔ1,Δ2 có phương trình
Δ1:a1x+b1y+c1=0Δ2:a2x+b2y+c2=0
Vì số điểm chung của hai đường thẳng bằng số nghiệm của hệ gồm hai phương trình trên, nên từ kết quả của đại số ta có
a, Hai đường thẳng Δ1,Δ2cắt nhau khi và chỉ khi
|a1b1a2b2|≠0;
b, Hai đường thẳng Δ1,Δ2song song khi và chỉ khi
|a1b1a2b2|=0và |b1c1b2c2|=0
Hoặc |a1b1a2b2|=0và |c1a1c2a2|=0
b, Hai đường thẳng Δ1,Δ2trùng nhau khi và chỉ khi
|a1b1a2b2|=|b1c1b2c2|=|c1a1c2a2|=0
Trong trường hợpa2,b2,c2 đều khác 0 , ta có
Δ1,Δ2 cắt nhau ⇔a1a2≠b1b2;
Δ1//Δ2⇔a1a2=b1b2≠c1c2
Δ1≡Δ2⇔a1a2=b1b2=c1c2
|