|
|
1. Định nghĩa phép quay
ĐỊNH NGHĨA
Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác φ không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M′ sao cho OM=OM′ và (OM,OM′)=φ được gọi là phép quay tâm O góc quay φ
2. Định lý
Phép quay là một phép dời hình
Chứng minh
Giả sử phép quay Q(O,φ) biến điểm M thành M’ và biến điểm N thành N’, trong đó O, M, N không thẳng hàng. Theo định nghĩa của phép quay, ta có OM=OM′;ON=ON′ và (OM,OM′)=(ON,ON′)=φ
Theo hệ thức Sa-lơ về góc lượng giác, ta có
(OM,ON)=(OM,OM′)+(OM′,ON)=(ON,ON′)+(OM′,ON)=(OM′,ON′)
Suy ra = . Như vậy hai tam giác MON và M′ON′ bằng nhau, do đó M′N′=MN. Trường hợp O,M,N thẳng hàng, ta thấy ngay M′N′=MN.
3. Phép đối xứng tâm
ĐỊNH NGHĨA
Phép đối xứng tâm qua điểm O là một phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M′ đối xứng với M qua O, có nghĩa là →OM+→OM′=→0
Kí hiệu và thuật ngữ: Phép đối xứng qua điểm O thường được kí hiệu là ĐO. Phép đối xứng qua 1 điểm còn gọi đơn giản là phép đối xứng tâm
Điểm O được gọi là tâm đối xứng
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm:
Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm I(a;b). Nếu phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M(x;y) thành điểm M′(x′;y′) thì {x′=2a−xy′=2b−y
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I
Tâm đối xứng của một hình
Điểm O gọi là tâm đối xứng của một hình (H) nếu phép đối xứng tâm Đ0 biến hình (H) thành chính nó, tức là Đ0(H)=(H).
4. Ứng dụng của phép quay
Bài toán 1
Cho hai tam giác đều OAB và OA′B′ như hình vẽ. Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA′ và BB′. Chứng minh rằng OCD là tam giác đều.
Giải:
Xét phép quay Q tâm O với góc quay bằng một góc lượng giác (OA,OB). Rõ ràng Q biến A thành B và biến A’ thành B’, nên Q biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB′. Từ đó suy ra Q biến trung điểm C của AA’ thành trung điểm A của BB’. Do đó OC=OD và . Vậy OCD là tam giác đều.
|