1. Phương trình mặt phẳng
Vecto →n≠0 gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của →n vuông góc với mặt phẳng (α)
Rõ ràng nếu →n là vecto pháp tuyến của mp(α) thì k→n(k≠0) cũng là vecto pháp tuyến của mp(α)
Trong không gian Oxyz cho mp(α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vecto pháp tuyến →n(A;B;C). Vì →n≠0 nên A2+B2+C2>0. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z)thuộc mp(α) là:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0(1)
Nếu đặt D=−(Ax0+By0+Cz0)
Phương trình (1) trở thành:
Ax+By+Cz+D=0 trong đó A2+B2+C2>0 (2)
Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát của mp(α) hay nói gọn là phương trình mp(α)
Định lý:
Trong không gian Oxyz , mỗi phương trình:
Ax+By+Cz+D=0 trong đó A2+B2+C2>0
Đều là phương trình của 1 mặt phẳng xác định
2. Các trường hợp riêng
Xét mặt phẳng có phương trình:
Ax+By+Cz+D=0 với các hệ số A,B,C,D đều khác 0
Đặt a=−DA;b=−DB;c=−DC ta đưa phương trình trên về dạng:
xa+yb+zc=1(3)
Phương trình (3) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Ví dụ: Trong không gian Oxyz , cho điểm M=(30;15;6)
a) Hãy viết phương trình mp(α) đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ
b) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm O trên mp(α)
Giải:
a) Các hình chiếu của M trên các trục tọa độ là các điểm (30;0;0),(0;15;0),(0;0;6). Phương trình mp(α) đi qua 3 điểm đó là:
x30+y15+z6=1 hay x+2y+5z−30=0
b) Điểm H nằm trên mp(α) và vecto →OH cùng phương với vecto pháp tuyến →n(1;2;5) của mp(α) tức là →OH=t→n. Bởi vậy, nếu gọi (x;y;z) là tọa độ điểm H thì:
{x+2y+5z−30=0x=ty=2tz=5t
Giải ra ta được t=1, do đó H=(1;2;5)
3. Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng (α) và (α′)lần lượt có phương trình:
(α):Ax+By+Cz+D=0(α′):A'x+B′y+C′z+D′=0
a) Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi A:B:C≠A′:B′:C′
b) Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi
AA′=BB′=CC′≠DD′
c) Hai mặt phẳng đó trùng nhau khi:
AA′=BB′=CC′=DD′
4. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho điểm M0(x0;y0;z0) và mp(α) có phương trình: Ax+By+Cz+D=0. Khoảng cách từ M0 đến mp(α):
d(M0;(α))=|Ax0+By0+Cz0+D|√A2+B2+C2
|