|
|
giải đáp
|
Giai pt
|
|
|
|
3) chỉ cần đặt $\sqrt{x^2 - 6x + 18} = t \ge 0$ phương trình đã cho đưa về
$\dfrac{t^2 - 3}{t^2 - 7} = t$ có 3 nghiệm $t = 3,\ \ t= -1 - \sqrt 2 (L),\ \ t = \sqrt 2 - 1$
Từ đó thế lại tìm được $x = 3$ |
|
|
|
giải đáp
|
Giai pt
|
|
|
|
2) đặt $\sqrt{2x + 3} = t + 2 \Rightarrow 2x + 3 = t^2 + 4t + 4 $ hay $t^2 + 4t - 2x = - 1 \ (*)$
theo bài ra ta có $x^2 + 4x + 5 = 2(t + 2) \Rightarrow x^2 + 4x - 2t = - 1 \ (**)$
Từ $(*),\ (**)$ ta đưa về hệ đối xứng loại II giải đơn giản, giải ra được $x = t = - 1$
|
|
|
|
giải đáp
|
Giai pt
|
|
|
|
1) Đặt $\sqrt{x^2 + 2x - 1} = t \ge 0$
Ta có $2(1 - x) \sqrt{x^2 + 2x - 1} = x^2 + 2x - 1 - 4x$
Hay $2(1 - x)t = t^2 - 4x$
$\Leftrightarrow t^2 - 2(1 -x)t - 4x$ có $\Delta ' = (1 - x)^2 + 4x = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
Phương trình có 2 nghiệm $t = 1 - x + x + 1 = 2$ hoặc $t = 1 - x - x - 1 = -2x$
+ $\sqrt{x^2 + 2x - 1} = 2$ được nghiệm $x = - 1 \pm \sqrt 6$
+ $\sqrt{x^2 + 2x - 1} = - 2x$ vô nghiệm
bạn check lại nghiệm nhé |
|
|
|
sửa đổi
|
Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức.
|
|
|
|
Xét hàm $f(x) = \cos x + \dfrac{x^2}{2} - 1 , \ \forall x \in R$$f'(x) = 1 - \sin x \ge 0 \ \forall x \in R$Vậy hàm $f(x)$ đồng biến hay $f(x) \ge 0 \forall x \in R$ $\Rightarrow \cos x+\dfrac{x^2}{2}-1\geq 0$$\Leftrightarrow \cos x \ge 1 - \dfrac{x^2}{2}$ĐPCM
Xét hàm $f(x) = \cos x + \dfrac{x^2}{2} - 1 , \ \forall x \in R$$f'(x) = x - \sin x \ge 0 \ \forall x \in R$, thật vậy$f''(x) = 1 - \cos x \ge 0 \forall x \in R$ nên $f'(x)$ đồng biến hay $f'(x) \ge f'(0) = 0$Vậy hàm $f(x)$ đồng biến hay $f(x) \ge 0 \forall x \in R$ $\Rightarrow \cos x+\dfrac{x^2}{2}-1\geq 0$$\Leftrightarrow \cos x \ge 1 - \dfrac{x^2}{2}$ĐPCM
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức(4).
|
|
|
|
$(0, \ \dfrac{\pi}{2}) = I$
Xét hàm $f(x) = \dfrac{\sin x}{x} - \cos x, x \in I$
$f'(x) = \dfrac{x\cos x - \sin x + x^2 \cos x}{x^2}$
Xét $g(x) = x\cos x - \sin x + x^2 \cos x,\ \ g'(x) = x\sin x + x^2 \cos x > 0 \ \forall x \in I$
Suy ra $g(x)$ đồng biến, hay $g(x) > g(0) = 0 \Rightarrow f'(x) >0$
Hay $f(x)$ đồng biến, $f(x) > f(0) = 0$ có đpcm
|
|
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức(3).
|
|
|
|
Thứ nhất đề sai , kia là $3x$ nhéThứ 2 làm như sauXét $f(x) = \tan x + \sin x - 3x$ có $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} + \cos x > 0 \forall x \in (0,\ \dfrac{\pi}{2})$Vậy $f(x)$ đồng biến trên $(0,\ \dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow f(x) > f(0) = 0$Hay $\tan x + \sin x - 3x > 0 \Rightarrow dpcm$
Thứ nhất đề sai , kia là $2x$ nhéThứ 2 làm như sauXét $f(x) = \tan x + \sin x - 2x$ có $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} + \cos x - 2> \dfrac{1}{\cos x} + \cos x - 2 >0 \forall x \in (0,\ \dfrac{\pi}{2})$( do $\cos x + \dfrac{1}{\cos x} > 2$ theo Cauchy với $x \in (0, \ \dfrac{\pi}{2})$Vậy $f(x)$ đồng biến trên $(0,\ \dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow f(x) > f(0) = 0$hay $\tan x + \sin x - 2x > 0$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức(2).
|
|
|
|
Do điều kiện bài toán nên ta đưa về: $\dfrac{\tan a}{a} < \dfrac{\tan b}{b}$
Xét hàm $f(x) = \dfrac{\tan x }{x}, \ x \in \left(0,\ \dfrac{\pi}{2}\right)$
$f'(x) = \dfrac{x - \sin x \cos x}{x^2 \cos^2 x}$
Xét $g(x) = x - \sin x \cos x,\ g'(x) = 1 - \cos 2x \ge 0$
Vậy $g(x)$ đồng biến $g(x) > g(0) = 0 \Rightarrow f'(x) > 0$ hay hàm $f(x)$ đồng biến
Suy ra dpcm |
|
|
|
giải đáp
|
Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức(3).
|
|
|
|
Thứ nhất đề sai , kia là $2x$ nhé
Thứ 2 làm như sau
Xét $f(x) = \tan x + \sin x - 2x$ có $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} + \cos x - 2> \dfrac{1}{\cos x} + \cos x - 2 >0 \forall x \in \left(0,\ \dfrac{\pi}{2}\right)$
$\mbox{( do}\cos x + \dfrac{1}{\cos x} > 2$ theo Cauchy với $x \in \left(0, \ \dfrac{\pi}{2}\right)\mbox{)}$
Vậy $f(x)$ đồng biến trên $\left(0,\ \dfrac{\pi}{2}\right) \Rightarrow f(x) > f(0) = 0$
hay $\tan x + \sin x - 2x > 0$
|
|