Chứng minh $2^{n-1}(a^{n}+b^{n})>(a+b)^{n}$, với $a+b>0$,  $a\neq b$,  $n\geq 2$.

1. Chứng minh $2^{n-1}(a^{n}+b^{n})>(a+b)^{n}$, với $a+b>0$,  $a\neq b$,  $n\geq 2$.

2. Cho $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}  (n\geq 2)$ là những số không âm, chứng minh 

                      $\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x_{1}=x_{2}=...=x_{n}$.

1. Cho hai bộ số $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ và $b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}$ $(n\geq 2)$ bất kì. Chứng minh

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq$ $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho $b_{1}=ka_{1}$, với mọi $i=1,..., n$

2. Với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh tồn tại đường tròn chứa đúng $n$ điểm nguyên trong mặt phẳng toạ độ. 

1. Chứng minh rằng không tồn tại hai số nguyên $a$ và $b$ sao cho $a^{2}-b^{2}=2014$.

2. Cho $\overline{abc}$ là số nguyên tố, chứng minh phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ không có nghiệm nguyên.

3. Cho S là tập hữu hạn điểm thoả tính chất: bất kì tam giác nào có 3 đỉnh thuộc S đều có diện tích nhỏ hơn 1. Chứng minh tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ hơn 4 chứa tấất cả các điểm của S.

1. Cho số tự nhiên $n\geq2$, chứng minh tồn tại số nguyên tố $p$ nằm giữa $n$ và $n!$.

2. Chứng minh mọi số tự nhiên có dạng $4m+1$ đều có ước nguyên tố dạng $4k+1$.

3. Chứng minh không có số nguyên tố nào dạng $4k+3$ mà là tổng của hai số chính phương. 

 Chứng minh số có dạng 1000...0001 (gồm 2n chữ số 0) chia hết cho 11.

1. Cho hai bộ số $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ và $b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}$ $(n\geq 2)$ bất kì. Chứng minh

$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq$ $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho $b_{1}=ka_{1}$, với mọi $i=1,..., n$

2. Với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh tồn tại đường tròn chứa đúng $n$ điểm nguyên trong mặt phẳng toạ độ.