c,Do M là trung điểm BC nên ta đc $\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=x_{M}$
$\frac{y_{B}+y_{C}}{2}=y_{M}$
thay vào tìm đc M(0;-1)
con lại ự làm :v

từ 1 và 2 tà có :

$\sum (a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^{2}}b)\geqslant \sum (a-\frac{4}{9}ab-\frac{2}{9}b)= \frac{7}{9}\sum a-\frac{4}{9}\sum ab\geqslant \frac{7}{9} \sum a-\frac{4}{27}(\sum a)^{2}= \frac{21}{9}-\frac{4}{27}.(3)^{2}= 1$

đc đpcm

áp dụng BĐT cố sì ta có :D :
a+a+1⩾3a2−−√3
a+b3+b3⩾3ab6−−−√3
$\sum \sqrt[3]{a^{2}}b\leqslant \sum \frac{(a+a+1)b}{3}= \sum (\frac{2}{3}ab+\frac{1}{3}b)(2)$

ta có: $\sum \frac{a^{2}}{a+2b^{3}}= \sum (a-\frac{2ab^{3}}{a+2b^{3}})\geqslant \sum (a-\frac{2ab^{3}}{3\sqrt[3]{ab^{6}}})= \sum (a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^{2}}b)(1)$

$\frac{a^2}{a+2b^3} +\frac{b^2}{b+2c^3} +\frac{c^2}{c+2a^3} \geq 1$

BĐT⇔∑xy2+z2=∑x1−x2⩾33√2(1)

Vậy ta cần chứng minh :

x1−x2⩾33√x22(2)

⇒33√x4+2x⩾33√x2

BĐT này đúng vì  theo BĐT cô si ta có : 33√x4+x+x⩾333√x6−−−−−√3=33√x2

Do (2) đúng nên suy ra (1) đúng

xong

cho x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$ chứng minh $\frac{x}{y^2+z^2} +\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

c,$a^2+3a+1=a(a+3)+1 \geq 1\Rightarrow min a^2+3a+1=1$  với a=0 suy ra x=0 thì gtnn của A đạt min

1) pt ⇔(xx+yy)(x+y)=1981.1=7.283

Vì x;y∈N⇒xx+yy≥x+y{xx+yy=1981x+y=1hoặc {x+y=7xx+yy=283

Tới đây xét (x;y)∈{(4;3),(3;4)}

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M bất kỳ trên cạnh AC(M không trùng A và C), đường thẳng qua C vuông góc với đường thẳng BM tại H, cắt tia đối của tia AB tại I. Gọi K là giao điểm IM và BC. Chứng minh:
a, Tứ giác BKHI nội tiếp
b, Hai đoạn thẳng BM và CI bằng nhau(2 phần này cm rồi)
c, Khi điểm M chuyển động trên AC thì điểm H luôn thuộc 1 cung tròn cố định

Với $x<0$ thì (3)$\Leftrightarrow \frac{1}{3^{|x|}}+171=y^2$ (không đúng) nên $x\geq 0$
Giờ thì phải xét:
Nếu x=0 thì $y^2=172$ không thể là số chính phương
nếu x lẻ thì $3^x=3^{2k+1}=9k.3\equiv 3(mod 4)  và  171\equiv 3 (mod4)$ nên $3^x+171\equiv 2(mod 4)$ không thể là số chính phương
Như vậy x=2k với k thuộc $N^*$ khi đó
(3)$\Leftrightarrow (y-3^k)(y+3^k)=171=3.3.19$(4)
ta thấy $(y+3^k)-(y-3^k)=2.3^k$ chia hết cho 3 nên $y+3^k,y-3^k$ có cùng số dư khi chia cho 3, mà tích chúng chia hết cho 3 nên mỗi số chia hết cho 3.
Do đó từ (4) ta suy ra $y+3^k=57,y-3^k=3$
Khi đó ta tính được y=30,k=3 suy ra x=6.
còn lại nhờ ông kết luận dùm tôi tôi không gõ nổi nữa rồi 1 bài 20p

Giải nè:
pt:$3x^2+x(3y-1)+3y^2-8y$ coi đây là pt bậc 2 ẩn x để giải nhé,
$\Delta =(3y-1)^2-12(3y^2-8y)=-27y^2+90y+1$
$\Delta \geq 0\Rightarrow 0\leq x\leq 3$
đến đây cậu tự xét từng trường hợp đi nha mình đang bận làm nhiều bài lắm không tiện xét (thi xong tôi sẽ gọi cậu LOL :v )

Ta có từ (1): $x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 3z^3 - 3xyz$
suy ra $x^3 +y^3+z^3 - 3xyz$ chia hết cho 3.
mà $x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz -zx)$ (#)

Ta có 2 trường hợp:
a) Nếu $x+y+z$chia hết cho 3.
suy ra $x+y+z=3$ (Do $x+y+z$ nguyên tố). mà từ (1) suy ra $x=y=z=1$ (  tự chứng minh lấy :P )

b) Nếu $x+y+z$ không chia hết cho 3
ta suy ra $(x^2+y^2+z^2 - xy - yz -zx)$ chia hết cho 3. Mà ta có:
$x^2+y^2+z^2 - xy - yz -zx = (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)$
$3(xy+yz+zx)$ chia hết cho 3 suy ra $(x+y+z)^2$chia hết cho 3. mà do $x+y+z$ là số nguyên tố và từ (b) suy ra điều vô lý.

Vậy ta tìm được $x=y=z=1$

tìm các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn  hai điều kiện $x^3+y^3=2z^3$ và $x+y+z$ là số nguyên tố