Hệ phương trình khó!

$\left\{ \begin{array}{l} (x+2y-1)\sqrt{2y+1}=(x-2y)\sqrt{x+1}\\ 2xy+5y=\sqrt{(x+1)(2y+1)} \end{array} \right.$

Hệ phương trình bậc nhất...

Hệ phương trình khó!

Giải hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l} (x+2y-1)\sqrt{2y+1}=(x-2y)\sqrt{x+1}\\ 2xy+5y=\sqrt{(x+1)(2y+1)} \end{array} \right.$

Hệ phương trình bậc nhất...

Giúp mình với!!

Chứng minh với mọi tam giác $ABC$ thì ta luôn có:$\frac{\cos (\frac{B}{2}-\frac{C}{2})}{\sin \frac{A}{2}}+\frac{\cos (\frac{C}{2}-\frac{A}{2})}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{\cos (\frac{A}{2}-\frac{B}{2})}{\sin \frac{C}{2}}\leq 2(\frac{\tan \frac{A}{2}}{\tan \frac{B}{2}}+\frac{\tan \frac{B}{2}}{\tan \frac{C}{2}}+\frac{\tan \frac{C}{2}}{\tan \frac{A}{2}})$

Bất đẳng thức

Giúp mình với!!

Chứng minh với mọi tam giác $ABC$ thì ta luôn có:$\frac{\cos (\frac{B}{2}-\frac{C}{2})}{\sin \frac{A}{2}}+\frac{\cos (\frac{C}{2}-\frac{A}{2})}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{\cos (\frac{A}{2}-\frac{B}{2})}{\sin \frac{C}{2}}\leq 2(\frac{\tan \frac{A}{2}}{\tan \frac{B}{2}}+\frac{\tan \frac{B}{2}}{\tan \frac{C}{2}}+\frac{\tan \frac{C}{2}}{\tan \frac{A}{2}})$

Bất đẳng thức

Ta xét bài toán tổng quát sau:$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$\rightarrow A=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2013}-\sqrt{2012}=\sqrt{2013}-\sqrt{1}=\sqrt{2013}-1$

Ta xét bài toán tổng quát sau:$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$\rightarrow A=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2013}-\sqrt{2012}=\sqrt{2013}-\sqrt{1}=\sqrt{2013}-1$

Ta có $a+b+c+2\sqrt{ac+bc}=c+(a+b)+2\sqrt{c(a+b)}=(\sqrt{c}+\sqrt{a+b})^{2}$Tương tự: $a+b+c-2\sqrt{ac+bc}=(\sqrt{c}-\sqrt{a+b})^{2}$$\rightarrow A=\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ac+bc} } + \sqrt{a+b+c-2\sqrt{ac+bc}}=\sqrt{c}+\sqrt{a+b}+\left| {\sqrt{c}-\sqrt{a+b}} \right|$*Nếu $c>a+b$ thì $A=2\sqrt{c}*Nếu $c<a+b$ thì $A=2\sqrt{a+b}$

Ta có $a+b+c+2\sqrt{ac+bc}=c+(a+b)+2\sqrt{c(a+b)}=(\sqrt{c}+\sqrt{a+b})^{2}$Tương tự: $a+b+c-2\sqrt{ac+bc}=(\sqrt{c}-\sqrt{a+b})^{2}$$\rightarrow A= \sqrt{a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}+\sqrt{a+b+c-2\sqrt{ac+bc}}=\sqrt{c}+\sqrt{a+b}+\left| {\sqrt{c}-\sqrt{a+b}} \right|$*Nếu $c>a+b$ thì $A=2\sqrt{c}$*Nếu $c<a+b$ thì $A=2\sqrt{a+b}$

Sử dụng công thức lượng giác ấy bạn$a)\sin A+\sin B+\sin C$$=2\sin \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}$$=2\cos \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2})$$=4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}$$b)\sin 3A+\sin 3B+\sin 3C$(*)$=2\sin \frac{3A+3B}{2}.\cos \frac{3A-3B}{2}+2\sin \frac{3C}{2}.\cos \frac{3C}{2}$và $A+B=\pi-C\Rightarrow\frac{3A+3B}{2}=\frac{3\pi}{2}-\frac{3C}{2}$$\Rightarrow\sin \frac{3A+3B}{2}=\sin (\frac{3\pi}{2}-\frac{3C}{2})=-\cos \frac{3C}{2}$Tương tự ta có $\sin \frac{3C}{2}=\sin (\frac{3\pi}{2}-\frac{3A+3B}{2})=-\cos \frac{3A+3B}{2}$Vậy (*)$=-2\cos \frac{3C}{2}(\cos \frac{3A-3B}{2}+\cos \frac{3A+3B}{2})$$=-4\cos \frac{3A}{2}.\cos \frac{3B}{2}.\cos \frac{3C}{2}$

Sử dụng công thức lượng giác ấy bạn$a)\sin A+\sin B+\sin C$$=2\sin \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}$$=2\cos \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2})$$=4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}$$b)\sin 3A+\sin 3B+\sin 3C$(*)$=2\sin \frac{3A+3B}{2}.\cos \frac{3A-3B}{2}+2\sin \frac{3C}{2}.\cos \frac{3C}{2}$và $A+B=\pi-C\Rightarrow\frac{3A+3B}{2}=\frac{3\pi}{2}-\frac{3C}{2}$$\Rightarrow\sin \frac{3A+3B}{2}=\sin (\frac{3\pi}{2}-\frac{3C}{2})=-\cos \frac{3C}{2}$Tương tự ta có $\sin \frac{3C}{2}=\sin (\frac{3\pi}{2}-\frac{3A+3B}{2})=-\cos \frac{3A+3B}{2}$Vậy (*)$=-2\cos \frac{3C}{2}(\cos \frac{3A-3B}{2}+\cos \frac{3A+3B}{2}$$=-4\cos \frac{3A}{2}.\cos \frac{3B}{2}.\cos \frac{3C}{2}$

Sử dụng công thức lượng giác ấy bạn$a)\sin A+\sin B+\sin C$$=2\sin \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}$$=2\cos \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2})$$=4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}$$b)\sin 3A+\sin 3B+\sin 3C$$=2\sin \frac{3A+3B}{2}.\cos \frac{3A-3B}{2}+2\sin \frac{3C}{2}.\cos \frac{3C}{2}$và $A+B=\pi-C\Rightarrow\frac{3A+3B}{2}=\frac{3\pi}{2}-\frac{3C}{2}$$\Rightarrow\sin \frac{3A+3B}{2}=\sin (\frac{3\pi}{2}-\frac{3C}{2})=-\cos \frac{3C}{2}$Tương tự ta có $\sin \frac{3C}{2}=\sin (\frac{3\pi}{2}-\frac{3A+3B}{2})=-\cos \frac{3A+3B}{2}$Vậy $\sin 3A+\sin 3B+\sin 3C=-2\cos \frac{3C}{2}(\cos \frac{3A-3B}{2}+\cos \frac{3A+3B}{2})$$=-4\cos \frac{3A}{2}.\cos \frac{3B}{2}.\cos \frac{3C}{2}$

Sử dụng công thức lượng giác ấy bạn$a)\sin A+\sin B+\sin C$$=2\sin \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{C}{2}$$=2\cos \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2})$$=4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}$$b)\sin 3A+\sin 3B+\sin 3C$(*)$=2\sin \frac{3A+3B}{2}.\cos \frac{3A-3B}{2}+2\sin \frac{3C}{2}.\cos \frac{3C}{2}$và $A+B=\pi-C\Rightarrow\frac{3A+3B}{2}=\frac{3\pi}{2}-\frac{3C}{2}$$\Rightarrow\sin \frac{3A+3B}{2}=\sin (\frac{3\pi}{2}-\frac{3C}{2})=-\cos \frac{3C}{2}$Tương tự ta có $\sin \frac{3C}{2}=\sin (\frac{3\pi}{2}-\frac{3A+3B}{2})=-\cos \frac{3A+3B}{2}$Vậy (*)$=-2\cos \frac{3C}{2}(\cos \frac{3A-3B}{2}+\cos \frac{3A+3B}{2})$$=-4\cos \frac{3A}{2}.\cos \frac{3B}{2}.\cos \frac{3C}{2}$

Bài 4^^

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$ và $P$ là điểm các cạnh $BC,CA,AB;h_{a},h_{b},h_{c}$ là độ dài các đường cao tương ứng. Chứng minh rằng:$PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\geq\frac{4}{\sqrt{3}}S.max${$\frac{PA+PA'}{h_{a}}$,$\frac{PB+PB'}{h_{b}}$, $\frac{PC+PC'}{h_{c}}$$}

Bất đẳng thức

Bài 4^^

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$ và $P$ là điểm bất kì. Gọi $A',B',C'$ là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB;h_{a},h_{b},h_{c}$ là độ dài các đường cao tương ứng. Chứng minh rằng:$PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\geq\frac{4}{\sqrt{3}}S.max${$\frac{PA+PA'}{h_{a}},$$\frac{PB+PB'}{h_{b}},$$\frac{PC+PC'}{h_{c}}$}

Bất đẳng thức

Bài 4^^

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$ và $P$ là điểm các cạnh $BC,CA,AB;h_{a},h_{b},h_{c}$ là độ dài các đường cao tương ứng. Chứng minh rằng:$PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\geq\frac{4}{\sqrt{3}}S.max${$\frac{PA+PA'}{h_{a}}$,$\frac{PB+PB'}{h_{b}}$,$\frac{PC+PC'}{h_{c}}$}

Bất đẳng thức

Bài 4^^

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$ và $P$ là điểm các cạnh $BC,CA,AB;h_{a},h_{b},h_{c}$ là độ dài các đường cao tương ứng. Chứng minh rằng:$PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\geq\frac{4}{\sqrt{3}}S.max${$\frac{PA+PA'}{h_{a}}$,$\frac{PB+PB'}{h_{b}}$, $\frac{PC+PC'}{h_{c}}$$}

Bất đẳng thức

Bài 4^^

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$ và $P$ là điểm các cạnh $BC,CA,AB;h_{a},h_{b},h_{c}$ là độ dài các đường cao tương ứng. Chứng minh rằng:$PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\geq\frac{4}{\sqrt{3}}S.max${$\frac{PA+PA'}{h_{a}},\frac{PB+PB'}{h_{b}},\frac{PC+PC'}{h_{c}}$}

Bất đẳng thức

Bài 4^^

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$ và $P$ là điểm các cạnh $BC,CA,AB;h_{a},h_{b},h_{c}$ là độ dài các đường cao tương ứng. Chứng minh rằng:$PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\geq\frac{4}{\sqrt{3}}S.max${$\frac{PA+PA'}{h_{a}}$,$\frac{PB+PB'}{h_{b}}$,$\frac{PC+PC'}{h_{c}}$}

Bất đẳng thức

Giải các bài thi học sinh giỏi nha mấy bạn, giúp mình với tks

Bài $1:$ Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-2x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị $(C)$ các điểm $M, N$ sao cho độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất.Bài $2:$$a)$ Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình:$x^{2}+2008x+2009y^{2}+y=xy+2009xy^{2}+2010$$b)$ Giả hệ phương trình:\begin{cases}1+x^{3}y^{3}=19x^{3} \\ y+xy^{2}=-6x^{2} \end{cases}Bài $3:$ Cho tam giác $ABC$. Trên tia đối của tia $BA,CA$ lấy các điểm $E,F$(khác $B$ và $C$) theo thứ tự. Gọi $M$ là giao điểm của $BF$ và $CE$.Chứng minh rằng:$\frac{MB}{MF}+\frac{MC}{ME}\geq\sqrt{\frac{AB.AC}{AF.AE}}$Đẳng thức xảy ra khi nào?Bài $4:$$a)$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$$b)$ Đặt $f(n)=(n^{2}+n+1)^{2}+1$ với $n$ là số nguyên dươngXét dãy số $(x_{n}):x_{n}=\frac{f(1).f(3).f(5)...f(2n-1)}{f(2).f(4).f(6)...f(2n)}$ trong đó $n$ là số nguyên dươngTính giới hạn của dãy số $u_{n}=n^{2}.x_{n}$

Bất đẳng thức tam giác

Hệ phương trình mũ, lôgarit

Phương trình nghiệm nguyên

Giải các bài thi học sinh giỏi nha mấy bạn, gửi đáp án cùng nhau thảo luận nha^_^

Bài $1:$ Cho hàm số $y=\frac{x^{2}-2x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị $(C)$ các điểm $M, N$ sao cho độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất.Bài $2:$$a)$ Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình:$x^{2}+2008x+2009y^{2}+y=xy+2009xy^{2}+2010$$b)$ Giả hệ phương trình:\begin{cases}1+x^{3}y^{3}=19x^{3} \\ y+xy^{2}=-6x^{2} \end{cases}Bài $3:$ Cho tam giác $ABC$. Trên tia đối của tia $BA,CA$ lấy các điểm $E,F$(khác $B$ và $C$) theo thứ tự. Gọi $M$ là giao điểm của $BF$ và $CE$.Chứng minh rằng:$\frac{MB}{MF}+\frac{MC}{ME}\geq\sqrt{\frac{AB.AC}{AF.AE}}$Đẳng thức xảy ra khi nào?Bài $4:$$a)$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$$b)$ Đặt $f(n)=(n^{2}+n+1)^{2}+1$ với $n$ là số nguyên dươngXét dãy số $(x_{n}):x_{n}=\frac{f(1).f(3).f(5)...f(2n-1)}{f(2).f(4).f(6)...f(2n)}$ trong đó $n$ là số nguyên dươngTính giới hạn của dãy số $u_{n}=n^{2}.x_{n}$

Bất đẳng thức tam giác

Hệ phương trình mũ, lôgarit

Phương trình nghiệm nguyên

Bài số 3 nè ^_^

$3)$ $1.$Giải phương trình $x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{3-x}$ $2.$Tìm đa thức $P(x)$ xác định với mọi $x$ thỏa điều kiện $2P(x)+P(1-x)=x^{2},\forall x\in R$

Đa thức

Phương trình lôgarit

Bài số 3 nè ^_^

$3)$ $1.$Giải phương trình $x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{3-x}$ $2.$Tìm đa thức $P(x)$ xác định với mọi $x$ thỏa điều kiện $2P(x)+P(1-x)=x^{2},\forall x\in R$

Đa thức

Phương trình lôgarit

Bài số 2 nha mọi người^^

$2)$ $1.$Cho tam giác $ABC$ không có góc tù thỏa mãn hệ thức$\frac{1}{3}(\cos 3A + \cos 3B)-\frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + \cos A + \cos B = \frac{5}{6}$.Tính các góc của tam giác đó $2.$Giải phương trình $2^{\frac{1-x^{2}}{x^{2}}}-2^{\frac{1-2x}{x^{2}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}$

Tìm các yếu tố trong tam giác

Phương trình mũ

Bài số 2 nha mọi người^^

$2)$ $1.$Cho tam giác $ABC$ không có góc tù thỏa mãn hệ thức$\frac{1}{3}(\cos 3A + \cos 3B)-\frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + \cos A + \cos B = \frac{5}{6}$.Tính các góc của tam giác đó $2.$Giải phương trình $2^{\frac{1-x^{2}}{x^{2}}}-2^{\frac{1-2x}{x^{2}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}$

Tìm các yếu tố trong tam giác

Phương trình mũ

Cực trị lượng giác.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$A=\alpha\left(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\right)-\beta\left(\cos^3A+\cos^3B+\cos^3C\right)$$ trong đó $A;\,B;\,C$ là độ lớn ba góc của một tam giác nhọn và $\alpha;\,\beta$ là hai số dương cho trước.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bất đẳng thức

Cực trị lượng giác.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=\alpha\left(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\right)-\beta\left(\cos^3A+\cos^3B+\cos^3C\right)$$ trong đó $A;\,B;\,C$ là độ lớn ba góc của một tam giác nhọn và $\alpha;\,\beta$ là hai số dương cho trước.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bất đẳng thức

giúp minh bài dãy số này với hjhj tks moi người

Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi $a_{1}=\frac{1}{2}$ và $a_{n}=\frac{a^{2}_{n}}{a^{2}_{n}-a_{n}+1}$, $n=1,2,... $a)$ Chứng minh dãy số $(a_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.$b)$ Đặt $b_{n}= a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ với mỗi số nguyên dương $n$. Tìm phần nguyên $\left[ {b_{n}} \right]$ và giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }b_{n}$

Giới hạn của dãy số

Dãy số có giới hạn hữu hạn

giúp minh bài dãy số này với hjhj tks moi người

Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi $a_{1}=\frac{1}{2}$ và $a_{n}=\frac{a^{2}_{n}}{a^{2}_{n}-a_{n}+1}$, $n=1,2,...$

$a)$ Chứng minh dãy số $(a_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.$b)$ Đặt $b_{n}= a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ với mỗi số nguyên dương $n$. Tìm phần nguyên $\left[ {b_{n}} \right]$ và giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty }b_{n}$

Giới hạn của dãy số

Dãy số có giới hạn hữu hạn

giải dùm em bài bất đẳng thức voi tks moi nguoi

Cho a,b,c thuộc khoảng $[0;\frac{1}{2}]$, chứng minh rằng:$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 4abc\leqslant \frac{9}{32}$

Bất đẳng thức

giải dùm em bài bất đẳng thức voi tks moi nguoi

Cho a,b,c thuộc khoảng $[0;\frac{1}{2}]$ và $a+b+c=1$ chứng minh rằng:$a^{3} + b^{3} + c^{3} + 4abc\leqslant \frac{9}{32}$

Bất đẳng thức