|
|
giải đáp
|
Cho $a,b,c \in [1;2]$.Chứng minh :
|
|
|
|
VT=$\frac{(a+b)^{2}}{c^{2}+4c(a+b)+4ab}\geq \frac{(a+b)^{2}}{c^{2}+4c(a+b)+(a+b)^{2}}$ $= \frac{(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})^{2}}{1+4(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})^{2}}$ Đặt $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=t$ ta cần CM $\frac{t^{2}}{1+4t+t^{2}}\geq \frac{1}{6}$ $\Leftrightarrow 5t^{2}-4t-1\geq 0\Leftrightarrow (t-1)(5t+1)\geq0$ Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=1;c=2$ |
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Mn vào lm nhé!!!
|
|
|
|
Cho $a,b,c\in \left[ 0{;} 1\right]$ tm $a+b+c=2$.Tìm $Max$ P=$4(ab+bc+ca)\left[ 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3(ab+bc+ca)+\frac{5}{3}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \right] +\frac{5}{3}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ |
|
|
|
giải đáp
|
PART 2
|
|
|
|
ta có $ (a+b+2\sqrt{a+c})^3>(a+b+\sqrt{2(a+c)}) ^{3}= (a+b+ \sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}})^{3} \geq \frac{27}{2}(a+b)(a+c)$ TT suy ra ta cần CM $\sum \frac{1}{(a+b)(a+c)}\leq12$ $\Leftrightarrow \frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq12$ $\Leftrightarrow 6(a+b)(b+c)(c+a)\geq a+b+c$ mà $9(a+b)(b+c)(c+a)\geq8(a+b+c)(ab+bc+ca)$ như vậy ta cân CM $ab+bc+ca \geq \frac{3}{16} \Leftrightarrow 16(ab+bc+ca) \geq3$ có $ab+bc+ca \leq16abc(a+b+c) \leq \frac{16}{3}(ab+bc+ca)^{2} \Rightarrow ab+bc+ca\geq \frac{3}{16}$ Không xảy ra dấu bằng |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
bất phương trình hay
|
|
|
|
ĐK;$x\geq0$ Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{x+7} ;t\geq \sqrt{7}$ bpt $\Leftrightarrow t^{2}+t-42<0$ $\Leftrightarrow -7 <t<6$ $\Rightarrow \sqrt{7} \leq t<6$ $\Leftrightarrow x \in \left[0 {;} \frac{841}{144}\right)$ |
|
|
|
giải đáp
|
help me
|
|
|
|
có $\frac{x}{z}+xz\geq 2x; \frac{z}{y}+yz\geq2z$ $\Rightarrow P\geq 2x-xz+2y-yz+3y=2(x+z)+y(x+y+z)-xz-yz$ =$2(x+z)+y^{2}+x(y-z)$ có $x>0; y\geq z \Rightarrow x(y-z)\geq 0$ $\Rightarrow P\geq 2(x+z)+y^{2}=2(3-y)+y^{2}=(y-1)^{2}+5\geq 5$ Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1$ |
|
|
|
giải đáp
|
Lâu lắm mới quay trở lại đây mọi người giúp nha
|
|
|
|
pt $\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+2xy(x+y)-3(x^{2}+y^{2})+3(x+y)-4xy-2=0$ $ \Leftrightarrow (x-1)^{3} +(y-1)^{3}+2xy(x+y-2)=0$ Đặt $x-1=a;y-a=b$ $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+2(a+1)(b+1)(a+b)=0$ $\Leftrightarrow (a+b)(a^{2}-ab+b^{2}+2(a+1)(b+1))=0$ $\Leftrightarrow (a+b)(a^{2}+ab+b^{2}+2a+2b+2)=0$ ta có $(....)=(a+\frac{b+2}{2})^{2}+(\frac{b+2}{2})^{2}+\frac{b^{2}}{2}>0$ $\Rightarrow a+b=0 \Rightarrow x+y=2$ |
|
|
|
giải đáp
|
BĐT Cô-si
|
|
|
|
VT $\geq \frac{2}{\sqrt[4]{(a+2b)(b+2a)}} \geq \frac{2}{\sqrt{\frac{a+2b+b+2a}{2}}}=2$ Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}$ |
|
|
|
giải đáp
|
hệ phương trình hay á ! 2
|
|
|
|
ĐK: $x\leq 1$ pt (1) $\Leftrightarrow 2y^{3}+y=(3-2x)\sqrt{1-x}=2(1-x)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}$ $\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x}$ (2) TT: $\sqrt{2(1-x)+1}-\sqrt{1-x}-(2-x)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{2(1-x)+1}-1-\sqrt{1-x}-(1-x)=0$ $\Leftrightarrow \sqrt{1-x} \left[ \sqrt{1-x}(\frac{2}{\sqrt{2(1-x)+1}+1}-1)-1\right]=0$ ta có $\sqrt{2(1-x)+1}+1\geq2 \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{...}+1}\leq 1$ $\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{..}+1}-1\leq0 $ $\Rightarrow \left[ ..... \right] <0$ $\Leftrightarrow x=1 \Rightarrow (x;y)=(1;0)$ |
|
|
|
giải đáp
|
Hệ nà :D
|
|
|
|
(1) $\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}-2xy}{xy}+\frac{2}{x+y}-\frac{1}{xy}=0$ $\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}-1}{xy} + \frac{2}{x+y}-2=0$ $\Leftrightarrow \frac{(x+y-1)(x+y+1)}{xy} +\frac{2(1-x-y)}{x+y}=0$ $\Leftrightarrow x+y=1$ or $x^{2}+y^{2}+x+y=0$ +) $x+y=1$ $\Rightarrow 3x^{2}-4x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{2\pm \sqrt{7}}{3}$ +) $x^{2}+y^{2}=-(x+y)$ $\Rightarrow 1+2x-x^{2}=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\geq2$ $\Leftrightarrow x=1$ $\Rightarrow (x;y)=.....$
|
|
|
|
giải đáp
|
hệ khó 4
|
|
|
|
ĐK:..... pt (1) $\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}-3x-3y=3x^{2}+3y^{2}+2$ $\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3x-1=y^{3}+3y^{2}+3y+1$ $\Leftrightarrow (x-1)^{3}=(y+1)^{3} \Rightarrow y=x-2$ (2) $\Leftrightarrow 4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^{2}+8$ $\Leftrightarrow 3x^{2}-3x-6 +4(x+4-3\sqrt{x+2)}+(14-x-3\sqrt{22-3x})=0$ $\Leftrightarrow (x^{2}-x-2)(3+\frac{4}{x+4+3\sqrt{x+2}}+\frac{1}{14-x+\sqrt{22-3x}})=0$ (do các mẫu lđ $>0 \forall x\in$ TXĐ) $\Leftrightarrow x^{2}-x-2=0$ $\Leftrightarrow (x;y)=(2;0);(-1;-3)$ |
|
|
|
giải đáp
|
Tim Min P=$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
|
|
|
|
Ta có: c2a2+c2b2=12;ac=x;bc=y⇒1x2+1y2=12⇒1≥(1x+1y)2⇔xy≥x+y P=xy+1+yx+1+1√x2+y2+1 Chứng minh: x2+y2+1≤(x+y−1)2⇔2xy−2x−2y≥0⇔xy≥x+y(dung) suy ra: P≥xy+1+yx+1+1x+y−1≥(x+y)22xy+x+y+1x+y−1≥(x+y)2x+y+(x+y)22+1x+y−1=2(x+y)x+y+2+1x+y−1=2aa+2+1a−1=A Lại có; A=2aa+2+1a−1=2a2−2a+a+2(a−1)(a+2)=2a2−a+2a2+a−2⇔a2(A−2)+a(A+1)−2A−2=0;Δ=A2+2A+1+4(A−2)(2A+2)≥0⇔A≥53 Dấu = xảy ra khi ⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩1x2+1y2=12xy+1=yx+1x+y=xya=x+y=4⇔{c=2ac=2b |
|
|
|
giải đáp
|
hệ khó 7
|
|
|
|
ĐK:. pt (1) $\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+3x+1+x+1=y^{3}+y$ $(x+1)^{3}+x+1=y^{3}+y \Leftrightarrow (x+1-y)(...)=0$ $\Leftrightarrow y=x+1$ (2) $\Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{x+1}=\sqrt{1-x}-1$ $\Leftrightarrow \sqrt{1-x^{2}}+1=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$ Đặt $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=t (0<t\leq 2)$ pt TT $ t^{2}=2t$ $\Leftrightarrow t=0$ (L) or $t=2$ $\Leftrightarrow x=0$(t/m) $\Rightarrow (x;y)=(0;1)$ |
|
|
|
giải đáp
|
hệ khó 3
|
|
|
|
hpt $\Leftrightarrow \begin{cases}8x^{3}-13x^{2}+8x-4=(y+1)(5y+7) \\ x^{2}=y^{3}+y^{2}+y+1 \end{cases}$ cộng vế theo vế of 2 pt .Ta đc $(2x-1)^{3}+2x-1=(y+2)^{3}+y+2$ $\Leftrightarrow 2x-1=y+2 \Leftrightarrow x=\frac{y+3}{2}$ pt (2) $\Leftrightarrow 4y^{3}+3y^{2}-2y-5=0$ $\Leftrightarrow (y-1)(4y^{2}+7y+5)=0$ $\Leftrightarrow y=1 \Rightarrow (x;y)=(2;1)$ |
|
|
|
giải đáp
|
BĐT!
|
|
|
|
$S^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ $\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9$ $\Rightarrow S\geq3$ Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$ |
|