Em tự chứng minh BĐT sau đây coi như bài tập. Với mọi $x,y>0$ ta có
$(x+y)^2 \ge 4xy \implies \frac{xy}{x+y} \le \frac{x+y}{4}$.
Áp dụng BĐT trên ta được
$\begin{cases}\frac{ab}{a+b} \le \frac{a+b}{4} \\ \frac{bc}{b+c} \le \frac{b+c}{4} \\\frac{ca}{c+a} \le \frac{c+a}{4} \end{cases}$.
Từ đây suy ra
$\frac{ab}{a+b}+ \frac{bc}{b+c}+ \frac{ca}{c+a}\le \frac{a+b+c}{2}$.
Mà theo đề bài thì dấu bằng của BĐT trên xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c\implies b=2 cm.$