ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014
Câu $1$ $(2,0$ điểm )
Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1} $ $(1)$
$a)$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số $(1)$
$b)$ tìm toạ độ điểm M thuộc $(C)$ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng $y=-x$ bằng $\sqrt{2} $
Câu $2 (1,0$ điểm )
Giải phương trình $\sin x + 4\cos x =2 +\sin 2x$
Câu $3 (1,0$ điểm )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=x^2-x+3$ và đường thẳng $y=2x+1$
Câu $4 (1,0$ điểm )
$a)$ Cho số phức $z$ thoả mãn điều kiện $z+(2+i)\overline{z} =3+5i$. tìm phần thực và phẩn ảo của $z$.
$b)$ Từ một hộp chứa $16$ tẻ được đánh số từ $1 $đến $16$, chọn ngẫu nhiên $4$ thẻ. Tính xác suất để $4$ thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.
Câu $5 (1,0$ điểm )
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x+y-2x-1=0$ và đường thẳng $d : \frac{x-2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{3} $. Tìm toạ độ và giao điểm của $d$ và $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $(P)$.
Câu $6 (1,0$ điểm )
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SD=\frac{3a}{2} $ hình chiếu vuông góc chứa $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của cạnh $AB$. tính theo $a$ thể tích khối hình chóp $S.ABCD$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
Câu $7 (1,0$ điểm )
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ có điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $N$ là điểm thuộc đoạn $AC$ sao cho $AN=3NC$. Viết phương trình đường thẳng $CD$, biết rằng $M(1,2)$ và $N(2,-1)$.
Câu $8 (1,0$ điểm )
Giải hệ phương trình
$\begin{cases}x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^2)-12} \\ x^3-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{cases} $ $(x,y \in R)$
Câu $9 (1,0$ điểm )
Cho $x,y,z$ là các số thực không âm và thoả mãn điều kiện $x^2+y^2+z^2=2$. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1} +\frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{1+yz}{9} $