Giúp@@@

Question

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}x^4-x^3+3x^2-4y-1=0\\\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}} +\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=x+2y \end{cases}$

WhjteShadow · Answer 1 · 11/5/2014 2:35:33 PM

Ta có các đánh giá sau:

$\frac{x^2+4y^2}{2}=\frac{1}{4}(x+2y)^2+\frac{1}{4}(x-2y)^2\geq \frac{1}{4}(x+2y)^2$

$\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}=\frac{1}{4}(x+2y)^2+\frac{1}{12}(x-2y)^2\geq \frac{1}{4}(x+2y)^2$

Khi khai căn gọi vế phải của PT(2) trong hệ là A thì

$A\geq \left| {\frac{1}{2}(x+2y)} \right|+\left| {\frac{1}{2}(x+2y)} \right|$

Ta đã biết

$\left| {a} \right|+\left| {b} \right|\geq \left| {a+b} \right|$ nên

$A\geq \left| {x+2y} \right|$

Mà

$\left| {x+2y} \right|\geq x+2y$ nên

$VT\geq VP$ dấu bằng khi

$x=2y\geq 0$ thay vào pt đầu thì đc:

$x^4-x^3+3x^2-2x-1=0\Leftrightarrow (x-1)(x^3+3x+1)=0$

PT

$x^3+3x+1$ không có nghiệm với

$x\geq0$ .Vậy hệ có nghiệm

$x=1;y=\frac{1}{2}$

1 Đáp án