với mọi x,y\in R/x+y\geq 1 và 3y-2x\geq 0 ta luôn có (x+3y-2)-(5y-3x)=(y^{2}+4x-1)-(y+1)^{2}
\Leftrightarrow 3^{(x+3y-2)-(5y-3x)}=3^{(y^{2}+4x-1)-(y+1)^{2}}
\Leftrightarrow \frac{3^{x+3y-2}}{2.3^{5y-3x}}=\frac{3^{y^{2}+4x-1}}{2.3^{(y+1)^{2}}}\Leftrightarrow \frac{3^{x+3y-2}}{2.3^{y^{2}+4x-1}}=\frac{3^{5y-3x}}{2.3^{(y+1)^{2}}}(*)
từ pt (1) ta suy ra
\frac{3^{x+3y-2}}{2.3^{y^{2}+4x-1}}+1=\frac{3^{5y-3x}}{2.3^{y^{2}+4x-1}}+\frac{3^{(y+1)^{2}}}{3^{y^{2}+4x-1}}
\Leftrightarrow \frac{3^{5y-3x}}{2.3^{(y+1)^{2}}}+1=\frac{3^{5y-3x}}{2.3^{y^{2}+4x-1}}+\frac{3^{(y+1)^{2}}}{3^{y^{2}+4x-1}}
\Leftrightarrow \frac{3^{5y-3x}}{2}(\frac{1}{3^{(y+1)^{2}}}-\frac{1}{3^{y^{2}+4x-1}})=\frac{3^{(y+1)^{2}}}{3^{y^{2}+4x-1}}-1
\Rightarrow 3^{(y+1)^{2}}=3^{y^{2}+4x-1}
\Leftrightarrow 2x-y-1=0\Leftrightarrow y=2x-1 thay vào pt (2) của hệ ta được
3\sqrt[3]{4x-3}-2\sqrt{3x-2}-1=0 (với x \geq \frac{2}{3} )
đặt \sqrt[3]{4x-3}=a ; \sqrt{3x-2}=b(b\geq 0)
ta có hệ \begin{cases}3a^{3}-4b^{2}+1=0 \\ 3a-2b=1 \end{cases}
hệ này dễ dàng giải được bằng phương pháp thế. bạn tự trình bày phần còn lại.