Bài 100181

Question

Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ , cho ba mặt phẳng:

$(P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0$ và đường thẳng

${\Delta _1} : \frac{x - 2}{ - 2}$ =

$\frac{y + 1}{1}$ =

$\frac{z}{3}$ . Gọi

${\Delta _2}$ là giao tuyến của

$(P)$ và

$(Q)$ . Viết phương trình đường thẳng

$(d)$ vuông góc với

$(R)$ và cắt cả hai đường thẳng

${\Delta _1}$ ,

${\Delta _2}$ .

score 0 · Answer 1

${\Delta _1}$ có phương trình tham số

$\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 3t \end{array} \right.$

${\Delta _2}$ có phương trình tham số

$\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + s\\ y = 5 + 3s\\ z = s \end{array} \right.$

Giả sử

$d \cap {\Delta _1} = A;d \cap {\Delta _2} = B$ khi đó tọa độ 2 điểm lần lượt là

$A(2 - 2t; - 1 + t;3t){\rm{ , B(2 + s;5 + 3s;s)}}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = (s + 2t;3s - t + 6;s - 3t)$
(R) có VTPT

$\overrightarrow n = (1;2; - 3)$

$d \bot (R) \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \& \overrightarrow n$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{{s + 2t}}{1} = \frac{{3s - t + 6}}{2} = \frac{{s - 3t}}{{ - 3}}$

$\Rightarrow t = \frac{{23}}{{24}}$ , thay vào điểm A ta được

$A(\frac{1}{{12}};\frac{1}{{12}};\frac{{23}}{8})$
d đi qua

$A(\frac{1}{{12}};\frac{1}{{12}};\frac{{23}}{8})$ và có VTCP

$\overrightarrow n = (1;2; - 3)$ nên d có phương trình

$\frac{{x - \frac{1}{{12}}}}{1} = \frac{{y - \frac{1}{{12}}}}{2} = \frac{{z - \frac{{23}}{8}}}{{ - 3}}$ .

1 Đáp án