Bài 101244

Question

Giải các bất phương trình :

$\begin{array}{l} 1){\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ 2){\left( {x - 1} \right)^{{x^2} - 6x + 8}} > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 4/26/2012 9:53:07 AM

$1)$
TXĐ: R.
Ta chú ý

${x^2} + x + 1 =\left ( x+\frac{1}{2} \right )^2+\frac{3}{4}>0 \forall x$

$(1) \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x\log \left( {{x^2} + x + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ \log \left( {{x^2} + x + 1} \right) < 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a)\\ \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ \lg \left( {{x^2} + x + 1} \right) > 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(q) \end{array} \right.$

$(a) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {x^2} + x + 1 < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ {x^2} + x < 0 \end{array} \right.$ hệ vô nghiệm

$\begin{array}{l} (q) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ {x^2} + x + 1 > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ {x^2} + x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 0\\ \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ x > 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x < - 1 \end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình :

$x < - 1$

$2)$
TXĐ: R.
+ Xét

$x - 1 > 1$ :

$\begin{array}{l} (2)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 1\\ {\left( {x - 1} \right)^{{x^2} - 6x + 8}} > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 2\\ {x^2} - 6x + 8 > 0 \end{array} \right.\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x > 4 \end{array}$

+ Xét $0 < x - 1 < 1:$
Ta có :

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x < 2\\ {\left( {x - 1} \right)^{{x^2} - 6x + 8}} > 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 2\\ {x^2} - 6x + 8 < 0 \end{array} \right.\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 2\\ 2 < x < 4 \end{array} \right. \Rightarrow hệ vô nghiệm \\ \end{array}$

+ Xét

$x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2$
Bất phương trình trở thành

$1 > 1$ không thỏa mãn

+ Xét

$x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$
Khi đó

$x^2-6x+8\in Z.$
Từ

$(2)$ ta thấy , vế trái xác định khi k chẵn vì nếu k lẻ thì vế trái của

$(2)$ âm.
Suy ra

${x^2} - 6x + 8 = 2m$
Với

$m > 0:x = 3 \pm \sqrt {1 + 2m}$
Giá trị

$x = 3 + \sqrt {1 + 2m} >1$ (loại)
Xét

$x = 3 - \sqrt {1 + 2m}$
Do

$x < 1 \Leftrightarrow 3 - \sqrt {1 + 2m} < 1 \Leftrightarrow m = 2,3,4,5...$
Đảo lại, nếu

$m = 2,3,4$ bất phương trình