Bài 101740

Question

Đặt

$I_{n}=\int_{1}^{e}(lnx)^ndx, n\in Z^{+}$

$1)$ Tìm hệ thức liên hệ giữa

${I_{n + 1}}$ Và

${I_n}$ . Tính

${I_1},\,{I_2}$ .

$2)$ Chứng minh

${I_{n + 1}} \le {I_n} \le \frac{e}{{n + 1}}$ và tính

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {I_n}$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 4/27/2012 9:44:01 AM

$1)$ Đặt

$u = \,\,{\left( {\ln x} \right)^n}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,du = \,\,\,n{\left( {\ln x} \right)^{n - 1}}\frac{{dx}}{x}$

$dv\,\, = \,\,dx\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,v = x$

${I_n} = \left. {x{{\left( {\ln x} \right)}^n}} \right|_1^e - n\int\limits_1^e {{{\left( {\ln x} \right)}^{n - 1}}dx = e - n} {I_n}$
Ta có:

${I_n} = e - n{I_{n - 1}}$ với mọi

$n > 1$
Áp dụng với số nguyên dương

$n + 1$ ta có :

${I_{n + 1}} = e - \left( {n + 1} \right){I_n}$

$(1)$
Với

$n = 1$ ta có:

${I_1} = \int\limits_1^e {\ln x\,dx}$
Đặt

$u = \ln x\,\,\, \Rightarrow \,\,\,du = \frac{{dx}}{x}$

$dv\,\, = \,\,dx\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,v = x$
Suy ra :

${I_1} = \left. {x\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} = e - x |_1^e = 1$
Áp dụng

$(1)$ với

$n = 1$ ta có:

${I_2} = e - 2{I_1} = e - 2$
Vậy

$I_2= e-2\\ I_1= 1$
và

$I_{n+1}= e-(n+1)I_n$

$2)$ Vì

$1 \le x \le e\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,0 \le \ln x \le 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \,\,\,\,0 \le {\left( {\ln x} \right)^{n + 1}} \le {\left( {\ln x} \right)^n}\\ \Rightarrow \,\,\,\,0 \le {I_{n + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \le \,\,\,{I_n}\\ \Rightarrow \,\,\,\,0 \le e - \left( {n + 1} \right){I_n}\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,{I_n} \le \,\,\,\frac{e}{{n + 1}} \end{array}$
Vậy

$0 \le \,\,{I_n} \le \,\,\,\frac{e}{{n + 1}}$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 0 = 0$ và

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{e}{{n + 1}} = 0$ , suy ra :

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {I_n} = 0$