Bài 103165

Question

Cho đường tròn

$(C):x^2+y^2=2$ . Lập phương trình tiếp tuyến của

$(C)$ sao cho tiếp tuyến đó tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

(C) có tậm O(0;0) và

$R=\sqrt2$ .
Họ tiếp tuyến

$(d_1)$ của

$(C)$ có dạng:

$(d_1):x.\sin t+y.\cos t=\sqrt{2}$ , với

$t \in[0,2\pi) \setminus \left \{\right.0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\left. \right \}$

Gọi

$A,B$ theo thứ tự là giao điểm của

$(d)$ với

$OX,OY$ suy ra:

$A(\frac{\sqrt{2}}{\sin t};0),B(0;\frac{\sqrt{2}}{\cos t})$

Diện tích

$\triangle OAB$ được cho bởi:

$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}|x_A|.|y_B|=\frac{2}{2|\sin t.\cos t|}=\frac{2}{\sin 2t}\geq 2$
Vậy Min

$S_{\triangle OAB}=2$ , đạt được khi:

$|\sin 2t|=1\Leftrightarrow \cos 2t=0\Leftrightarrow 2t=\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow t\in \left \{ \right.\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\left. \right \}$
Từ đó ta nhận được bốn tiếp tuyến:

$(d_1):x+y-2=0, (d_2):x-y-2=0$

$(d_3):x+y+2=0, (d_4):x-y+2=0$

Bài 103165

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103165

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan