Trong mặt phẳng $Oxy$,lấy $ \overrightarrow {u} =(\frac{2a}{1+a^{2}};\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}})$,$\overrightarrow {v} =(\frac{1-b^{2}}{1+b^{2}};\frac{2b}{1+b^{2}})$
Thì: $|\overrightarrow {u} |=|\overrightarrow {v} |=1;$
$\overrightarrow {u} .\overrightarrow {v} =\frac{2a(1-b^{2})+2b(1-a^{2})}{(1+a^{2})(1+b^{2})}=\frac{2(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}$
Mà: $|\overrightarrow {u} .\overrightarrow {v} |=|\overrightarrow {u} |.|\overrightarrow {v} ||\cos (\widehat{\overrightarrow {u} ,\overrightarrow {v} })| \leq |\overrightarrow {u} |.|\overrightarrow {v} |$
$\Rightarrow 2|\frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2}) (1+b^{2})}|\leq 1$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)