Trong mặt phẳng $Oxy$,lấy $ \overrightarrow {a} =(\sqrt{3},1)$,$ \overrightarrow {b}=(x^{2}-y^{2},2xy)$
Lúc đó:$|\overrightarrow {a} |=2;$ $\overrightarrow {b}=\sqrt{(x^{2}-y^{2})^{2}+4x^{2}y^{2}}=$$\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{2}}=1$(do $x^{2}+y^{2}=1$)
$\overrightarrow {a} .\overrightarrow {b}=\sqrt{3}(x^{2}-y^{2})+2xy$
Mà: $|\overrightarrow {a} .\overrightarrow {b}|=|\overrightarrow {a}| .|\overrightarrow {b} ||cos(\widehat{\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}})|\leq |\overrightarrow {a}| .|\overrightarrow {b} | $
$\Leftrightarrow |\sqrt{3}x^{2}+2xy-\sqrt{3}y^{2}|\leq 2$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)