Bài 105513

Question

Chứng minh các bất đẳng thức có điều kiện kèm theo:
a/ Chứng minh rằng, nếu $\frac{ 1}{1+x}+ \frac{ 1}{1+y}+ \frac{ 1}{1+z} \geq 2 $ thì $x.y.z \leq \frac{ 1}{8}$
b/ Chứng minh rằng nếu $a>0, c>0 $ và $\frac{ 1}{a}+\frac{1}{c}= \frac{ 2}{b}$ thì $\frac{ a+b}{2a-b} +\frac{ b+c}{2c-b} \geq 4$
c/ Biết rằng $a \leq a \leq 2, 0 \leq b \leq 2, 0 \leq c \leq 2$ và $ a+b+c=3$. Chứng minh $a^{2} +b^{2} +c^{2} \leq 5$
d/ Chứng minh rằng nếu:$a>0, b>0, c>0$ và $a^{2} +b^{2} +c^{2} =1$ thì $\frac{ a}{ b^{2} +c^{2} }+ \frac{ b}{ c^{2} +a^{2} }+ \frac{ c}{ a^{2} +b^{2} } \geq \frac{ 3 \sqrt{ 3}}{2}$

Dung Holsu · Answer 1 · 5/24/2012 12:10:42 PM

a/ Từ giả thiết $\frac{ 1}{1+x}+ \frac{ 1}{1+y}+ \frac{ 1}{1+z} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{ 1}{x+1} \geq \left( 1- \frac{ 1}{1+y} \right) + \left( 1- \frac{ 1}{1+z } \right)$
$= \frac{ y}{1+y} + \frac{ z}{1+z} \geq 2. \sqrt{ \frac{ yz}{ \left( 1+y   \right) \left( 1+z \right) }}$ $(1)$
Tương tự: $\frac{ 1}{1+y} \geq 2.\sqrt{ \frac{ xz}{ \left( 1+x   \right) \left( 1+z   \right) }} $ $(2)$
$\frac{ 1}{1+z} \geq 2. \sqrt{ \frac{ xy}{ \left( 1+x \right) \left( 1+y \right) }}$ $(3)$
Nhân từng vế $(1)$, $(2)$ , $(3)$ :
$\frac{ 1}{1+x}. \frac{ 1}{1+y}. \frac{ 1}{1+z} \geq 8 \frac{ xyz}{ \left( 1+x   \right) \left(   1+y \right) \left( 1+z \right) } \Leftrightarrow 8xyz \leq 1 \Leftrightarrow x.y.z \leq \frac{ 1}{8}$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$.

b/ Từ giả thiết: $\frac{ 1}{a}+ \frac{ 1}{c} = \frac{ 2}{b} \Leftrightarrow \frac{ a+c}{ac}= \frac{ 2}{b} \Leftrightarrow b= \frac{ 2ac}{a+c}$
$\frac{ a+b}{2a-b}= \frac{ a+ \frac{ 2ac}{a+c}}{2a- \frac{ 2ac}{a+c}}= \frac{ a \left( 1+ \frac{ 2c}{a+c} \right) }{a \left( 2- \frac{ 2c}{a+c}   \right) }= \frac{ a+3c}{2a}= \frac{ 1}{2}+ \frac{ 3}{2}. \frac{ c}{a}$
$\frac{ b+c}{2c-b}= \frac{ \frac{ 2a}{a+c}+c}{2c- \frac{ 2ac}{a+c}}= \frac{ c \left( \frac{ 2a}{a+c}+1 \right) }{2c \left( 1- \frac{ a}{a+c} \right) }=\frac{ 3a+c}{2c} = \frac{ 1}{2}+ \frac{ 3}{2}. \frac{ a}{c}$
$\Rightarrow \frac{ a+b}{2a-b}+ \frac{ b+c}{2c-b}= \left( \frac{ 1}{2}+ \frac{ 3}{2}. \frac{ c}{a} \right) + \left( \frac{ 1}{2} + \frac{ 3}{2}. \frac{ a}{c}   \right) $
$=1+ \frac{ 3}{2} \left( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right) \geq 1+ \frac{ 3}{2}.2. \sqrt{ \frac{ c}{a}. \frac{ a}{c}}=4$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.

c/ Từ giả thiết $ \begin{cases} 0 \leq a \leq 2 \\ 0 \leq b \leq 2    \\ 0 \leq c \leq 2    \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}   a-2 \leq 0\\ b-2 \leq 0 \\   c-2 \leq 0 \end{cases} $
$\Leftrightarrow \left( a-2   \right) \left( b-2 \right) \left( c-2   \right)   \leq 0 \Leftrightarrow [ab-2 \left( a+b \right) +4 ]\left( c-2 \right) \leq 0 $
$\Leftrightarrow abc-2 \left( ac+bc \right) +4c -2ab +4 \left( a+b   \right) -8 \leq 0$
$\Leftrightarrow abc -2 \left( ab+bc +ac \right) +4 \left( a+b+c   \right) -8 \leq 0$
$\Leftrightarrow abc- 2 \left( ab+bc +ca \right) +4 \leq 0$
$\Leftrightarrow abc +4 \leq 2 \left( ab+bc+ca   \right) (*)$
Từ $a+b+c=3 \Leftrightarrow a^{2} +b^{2} +c^{2} +2 \left( ab+bc +ca \right) =9$
$\Leftrightarrow 2 \left( ab+bc +ca \right) =9- \left( a^{2} +b^{2} +c^{2}    \right) $
Thay vào $(*): abc+4 \leq 9- \left(a^{2} + b^{2} +c^{2}     \right) \Leftrightarrow a^{2} +b^{2} +c^{2} \leq 5-abc \leq 5$
Dấu bằng xảy ra khi a;b;c là hoán vị của cặp (0;1;2).

d/ $\frac{ a}{ b^{2} +c^{2} }+ \frac{ b}{ c^{2} +a^{2} }+ \frac{ c}{ a^{2} +b^{2} }=\frac{ a}{1- a^{2} }+ \frac{ b}{1- b^{2} } + \frac{ c}{ 1- c^{2} }$
$= \frac{ a^{2} }{a \left( 1- a^{2}   \right) }+ \frac{ b^{2} }{b \left( 1- b^{2}    \right) }+ \frac{ c^{2} }{c \left( 1- c^{2}    \right) }$
Lưu ý rằng $2 a^{2} + \left( 1- a^{2}   \right) + \left( 1- a^{2}    \right) =2$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba sô dương $ 2 a^{2} ; 1- a^{2} ; 1-a^{2} $
$\frac{ 2 a^{2} +1 \left( 1- a^{2}   \right) + \left( 1- a^{2}    \right) }{3} \geq \sqrt[3]{2 a^{2} \left( 1- a^{2}    \right) \left( 1- a^{2}   \right) } \Leftrightarrow \left( \frac{ 2}{3} \right)^{3} \geq 2 a^{2} \left( 1- a^{2}    \right)^{2} $
$\Leftrightarrow \frac{ 4}{27} \geq a^{2} \left(   1- a^{2} \right)^{2} \Leftrightarrow a \left( 1- a^{2}   \right) \leq \frac{ 2}{3 \sqrt{ 3}} \Leftrightarrow \frac{ 1}{a \left( 1- a^{2}    \right)} \geq \frac{ 3 \sqrt{ 3}}{2}$
Tương tự $ + \begin{cases} \frac{ a^{2} }{ a \left( 1- a^{2}   \right) } \geq \frac{ 3 \sqrt{ 3}}{2} a^{2} \\   \frac{ b^{2} }{ b \left( 1- b^{2}   \right) } \geq \frac{ 3 \sqrt{ 3}}{2} b^{2} \\   \frac{ c^{2} }{ c \left( 1- c^{2}   \right) } \geq \frac{ 3 \sqrt{ 3}}{2} c^{2}      \end{cases} $
$ \frac{ a^{2} }{ a \left( 1- a^{2}   \right) } + \frac{ b^{2} }{ b \left( 1- b^{2}   \right) }+\frac{ c^{2} }{ c \left( 1- c^{2}   \right) } \geq \frac{ 3 \sqrt{ 3}}{2} \left( a^{2} + b^{2} + c^{2}    \right)= \frac{ 3 \sqrt{ 3}}{2} $
$\Leftrightarrow \frac{ a}{ b^{2} +c^{2} }+ \frac{ b}{ c^{2} +a^{2} }+ \frac{ c}{ a^{2} +b^{2} } \geq \frac{ 3 \sqrt{ 3}}{2}$
Có đẳng thức khi và chỉ khi $a=b=c= \frac{ 1}{ \sqrt{ 3}}$

Bài 105513

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105513

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan